CHAPITRE VIII

fois, trois fois, etc., pour obtenir des longueurs doubles, triples, quadruples de celle-là, et que je pourrai ainsi avec des multiplications ou des divisions en nombre fini de cette répétition première, toute infliiie qu’elle soit, représenter toutes les longueurs exactement comme nous le faisons avec le module. Mais il faut nécessairement en prendre une toute faite, qui réunit par elle-même les deux infinis, qui en est la représentation matérielle et qui nous permet ainsi d’échapper à la difficulté, à l’impossibilité même de les mettre nous-mêmes en jeu l’une et l’autre. C’est ainsi que le chimiste qui veut agir sur un corps n’a pas besoin d’en prendre isolément les éléments constitutifs, de pratiquer sur eux celte infinité d'opérations à l’aide desquelles il conçoit que le but qu’il poursuit peut être obtenu, parce qu’il trouve dans la nature des forces tellement constituées qu’elles possèdent tout ce qu’il faut pour s’appliquer directement sur les éléments mêmes, quelque insaisissables qu’ils soient pour nous, et pour y exercer cette infinité d’actions nécessaires à la production des résultats qu'il se propose de réaliser.

En un mot, parce que dans l’ordre physique nous avons la conception de la longueur et du point, parce que, dans le même ordre, nous reconnaissons qu’il doit y avoir nécessairement une relation obligée de l’un à l'autre, nous avons été naturellement porté à nous demander s’il n’y a pas moyen de nous renseigner sur ce que peut être cette relation. Or, l’étude de la continuité nous fait clairement comprendre que dans cette relation doit se trouver la considération d’une répétition infinie dont le côté pratique nous échappe sans doute, mais dont la conception rationnelle nous est clairement acquise et peut devenir un puissant auxiliaire de nos raisonnements.

11 n’est pas d’ailleurs nécessaire d’insister sur ce point que ce que nous venons de constater ne concerne pas seulement lu longueur, car nous n’avons pris celle-ci pour exemple que dans le but de simplifier notre exposition. Ce que nous avons dit de cette quantité résultant des principes généraux de la continuité s’appliquera indistinctement à toutes les autres.

DE L’ATTKIBUT de CONTINUITÉ.

S’il s’agit par exemple des poids, la division infinie des poids me conduira à la conception de l’élément matériel pesant dont on fait à tout instant usage dans la mécanique, et par suite on comprend pourquoi, lorsqu'on voudra passer de la considération de cet élément à un poids quelconque, il sera nécessaire de faire intervenir une répétition infinie, opération à laquelle nous avons donné le nom d’intégration.

S’il s’agit du temps la division infinie du temps nous conduira à la conception de l’instant indivisible, dont on fait un usage non moins fréquent. Dans ce cas encore, lorsque dans nos recherches nous serons conduits à passer de la considération de l’une à la considération de l’autre, nous ne pourrons le faire que par le passage de l’infiui.

En résumé, lorsque, dans les recherches algébriques sur les quantités continuel, on est conduit à la considération de la limite extrême de ces quantités, l'idée du module de ces quantités s’efface alors; elle se trouve remplacée par une conception nouvelle qui n’est plus la quantité même, mais qui a un rapport nécessaire avec elle, rapport qui entraîne avec lui l’inévitable nécessité d’une division infinie.

Lorsque inversement on doit, en partant de la limite, être ramené vers la quantité dont elle peut être confine comme l’élément générateur, le module de cette quantité sous la condition d’une infinie répétition doit apparaître daus nos recherches et vient se substituer à la considération primilive de l’élément.

Plus généralement, si différentes espèces continues, en tel nombre qu’on voudra, sont naturellement liées entre elles par certaines lois physiques, de telle sorte qu’elles puissent être considérées comme formant une série dans laquelle ces especes sont les limites successives des unes par rapport aux autres, le passage d’une de ces espèces à l’autre sera nécessairement l’objet d’une division ou d’une répétition infinie à la suite desquelles les modules des unes viendront prendre la place des modules des autres, soit dans l’ordre ascendant lorsqu’il s’agira d’intégration, soit dans l’ordre descendant quand il s’agira de différentiation.