CHAPITRE IX

DE L’ATTHIBUT DK DIKECTION.

Sommaire. — I. De l'attribut de direction, sa définition ~ 11. De l'opposition dans l' attribut de direction, considérée au point de vue de la Ion gueur. — III. Généralisation des mêmes idées pour toutes les quantités. — IV. De la perpendicularité dans l'attribut de direction. — V. Application aux quantités autres que les longueurs. — VI. De l'attribut de direction pour un angle quelconque. — VII. Sur les quantités positives et négatives par rapport aux imaginaires et sur le passage du réel à l’imaginaire.- — Vlll. Du double système de numération quantitative et ordinale. — IX. Réflexions de Poinsot à ce sujet.

Le nouvel allribut que nous nous proposons niainlenant d’ê tudieroccupeunrang important dans les considérations géométriques, et l’on peut affirmer que c’est à ces considérations t|u’il faut exclusivement attribuer son introduction dans la science du calcul. Nous ajouterons même que c’est à la géométrie qu’il a emprunté sa dénomination ; toutefois il ne faudrait pas croire qu’il ne se rencontre que dans la science de l’étendue. Il appartient aussi à celle de la mécanique, dans certains cas à celle même de la pluralité, et il n’est pas -douteux qu’il s’en présentera plus tard de nouvelles applications. Mais, comme c’est là un sujet très-neuf dans les éludes algébriques, nous conserverons à cet attribut la dénomination de directif qui dérive de certaines propriétés de la bgne droite. Jusqu’à présent, il n’en a pas été que.stion dans l’enseignement en tant qu'il s’agit de l’exposition des doctrines et des principes qui le concernent. On s’occupe bien des formes algébriques qui le caractérisent; mais à un tout antre iiointde vue quecelui<iui consisle

DE L’ATTKÎBCT DK DIRECTION.

à montrer qu'elles sont les véritables représentants d’une classe parliculière de propriétés géométriques. Ces formes qui sont celles dites imaginaires interviennent si souvent dans les calculs que, quoiqu'on les déclare incompréhensibles, force est bien d’en dire quelques mots, mais toujours sous la réserve qu'on ne les interprète pas et qu’on les considère uniquement comme des instruments de calcul.

Or, la géométrie se prête si merveilleusement à l’intelligence de ces formes, les analogies qui existent entre elles et certains attributs de la ligne droite sont si complètes et si saisissantes, et d’ailleurs la géométrie occupe un rang si important dans les sciences mathématiques, qu’il y a tout à gagner <à recourir à elle pour faciliter l’introduction des idées nouvelles que nous allons exposer, et pour en préparer l’installation définitive dans le domaine de la science. Nous verrons d’abord très-clairement, à mesure que nous avancerons dans notre exposition, à quels caractères on peut reconnaître qu’une quantité autre <|ue la ligne droite possède un attribut équivalent à celui qui, pour elle, est appelé directif, et sous quelles conditions, par conséquent, les formes algébriques qui conviennent à celui-ci deviendront au même titre les représenlanlsde celui-là.

L’attribut de direction consiste en ce que les quantités qui en sont douées possèdent la propriété que toutes les valeurs qu’elles peuvent recevoir en vertu du principe de la continuité, et même quelquefois de celui de la pluralité, peuvent être considérées comme susceptibles d’exister, suivant différenfes directions, et plus généralement d’exercer leurs effets suivant des modes d'action qui présentent une complète analogie avec les directions en géométrie.

Disons à cet effet qu’un point étant donné sur un plan, et une longueur rectiligne d’ailleurs arbitraire étant portée à partir de ce point sur ce plan, nous concevons que celte longueur peut être appliquée sur une quelconque des directions qui passent par ce point et sont contenues dans ce plan. De telle sorte que les diverses positions que cette longueur peut ainsi prendre sont figurées par l’ensemble des directions des rayons d’une circonférence quelconque, ayant ce point pour centre. Or, ce que nous nous proposerons de chercher sera de savoir s’il existe des ex()ressions algébriques susceptibles d’être