CHAPITRE IX

dans les calculs les représentants de ces directions géométriques, et de déterminer les règles auxquelles ces expressions devront être soumises, pour qu’en vertu de ces règles il soit possible d’obtenir des relations algébriques entre ces formes tout à fait équivalentes à celles que les directions ont entre elles en géométrie. Mais, afin d’aller du simple au composé et de familiariser les idées avec ce nouveau point de vue, nous examinerons d’abord un cas particulier de cet attribut, celui dans lequel les directions considérées sont opposées l’une à l’autre,

Supposons qu’on trace une ligne droite indéfinie sur un plan; rien ne s’oppose à ce que nous concevions que cette droite a été engendrée par le mouvement d’un point se dirigeant de droite à gauche, ou au contraire par celui d’un point qui marcherait de gauche à droite. Les diverses longueurs que l’on pourra prendre sur celte droite jouiront donc de la propriété que leur génération est susceptible d’être considérée à ces deux points de vue très-distincts, et l’on comprend sans peine qu’il peut y avoir utilité, nécessité même, dans les diverses considérations géométriques auxquelles on pourra se livrer, de distiiiguer l’un de l’autre ces deux modes de génération. Or, ce qui se présente de prime abord à l’esprit, pour éviter toute confusion à cet égard, c’est d’affecter des indices différents à la représentation de chacun de ces modes d’existence des longueurs. Par exemple : si X est le module adopté pour représenter la grandeur des unes et des autres, je pourrai conserver X. pour exprimer l’un de ces modes et faire usage de l’accentuation de X pour exprimer l’autre, de sorte que a étant le nombre de fois qu’il a fallu répéter le module X pour obtenir une certaine longueur, a X pourra être employé pour indiquer que cette longueur est dirigée dans un des sens ci-dessus, et a V pour indiquer que la même longueur est dirigée dans l’autre sens. Il est évident qu’à l’aide de cette convention il ne sera pas possible de se tromper sur celle des deux directions qu’on entendra attribuer aux diverses longueurs dont on aura à s’occuper. Mais une accentuation n’étant pas une opération algébrique ne pourra être employée que comme signe représentatif d’une

DE l’attribut de DIRECTION.

dislioction à faire entre deux choses considérées à des points de vue différents, et ne nous apprendra rien sur les augmentations ou diminutions qui pourront être le résultat des diverses combinaisons qu’on aura à faire entre ces choses. Et en effet, ^ avant d’appliquer à un indice conventionnel une opération quelconque de calcul, il faut avoir défini ce que peut être, dans ce cas, une semblable opération ; c’est là une nécessité qui s’imposera toujours lorsque, dans la science algébrique, on emploiera un signe pour représenter non une opération de l’arithmétique, non une quantité, mais une convention. Tant que la relation qui peut exister entre les procédés du calcul et l’ordre de considérations auquel s’applique cette convention n’aura pas été soumise à de sérieuses investigations, il sera impossible de conclure. Or, il ne faudra pas chercher la relation dont je parle dans quelques artifices de calcul, dans le jeu souvent abusif de quelques formules, dans le rapprochement peu fondé de quelques résultats plus exclusivement algébriques que rationnellement comparatifs. Mais il faudra la déduire de la nature même de l’ordre de faits considérés, de l’essence et de la constitution de ces faits directement comparée avec celle des opérations diverses dont se compose la science du calcul, de l’analogie complète qui peut exister entre les résultats que ces recherches mettront à jour sur les quantités auxquelles elles s’appliquent, et ceux que les opérations de calcul produiront à leur tour sur les nombres qui représentent ces quantités. Si dans cette comparaison on trouve une équivalence complète entre les uns et les autres, alors, mais alors seulement, on sera en droit de conclure que les lois naturelles qu’on étudie ont un représentant algébrique, et que le signe conventionnel peut être représenté par une opération de calcul. Appliquons ces principes à ce qui concerne les directions opposées.

Sur la droite indéfinie que nous avons tracée dans un plan arbitrairement choisi, prenons un point fixe. Si l’on considère les longueurs successives qui, partant de ce point, sont situées à droite, elles progressent dans un des deux sens dont nous nous occupons; et, si l’on considère celles qui, partant de ce même point, sont situées à gauche, elles progressent en sens inverse. Les premières seront donc désignées, en vertu de ce qui précède, par àk, et les secondes par aV. En conséquence, si j’ai