CHAPITRE IX

à ajouter deux longueurs oX et bk de la première espèce^ je porterai d’abord la première à partir du point fixe sur le côté droit de notre ligne, et puis la seconde à la suite à partir de l’extrémité de la première : j’obtiendrai ainsi une longueur qui sera la somme des deux proposées, qui se compose du module X répété a + ô fois, et dont la représentation algébrique sera (a + 6) X. Évidemment on en pourrait dire autant des longueurs a X/ et 6 V, qui seraient toutes deux de la seconde espèce.

Considérons maintenant deux longueurs, oXet bV, d’espèces différentes, et cherchons ce que pourra produire leur réunion matérielle et physique en ayant égard au sens suivant lequel chacune est dirigée.

Je commencerai, comme précédemment, à porter du côté droit à partir du point fixe la longueur aX ; mais, lorsqu’après cette opération je porterai à l’extrémité de a X la seconde longueur, en lui attribuant le sens qu’elle doit avoir de se diriger vers la gauche, alors l’extrémité de cette longueur, bien loin de se placer au-delà du point fixe à une distance supérieure à aX, viendra tomber entre l’extrémité de celle-ci et le point fixe, ou même au-delà de ce point fixe, vers la gauche. L’addition aX -f- bk', bien loin de me donner quelque chose de plus grand que ak, me donnera donc au contraire quelque chose de plus petit, et il est évident que celte chose sera précisément celle que j’aurais obtenue si, considérant la seconde longueur comme de même espèce que la première, je l’avais soustraite de celle-ci au lieu de l’ajouter. Cela posé, si je l’avais considérée comme étant de même espèce, elle aurait eu pour représentation bk; si je l’avais soustraite, l’expression algébrique du résultat aurait été ak — bk, et, puisqu’il doit y avoir équivalence dans les deux manières d’opérer, on devra avoir ak bk' ak — bk, d’où résulte la relation bk'= 2 —bk. Or, ceci nous apprend que la propriété que nous avons voulu caractériser par l'accentuation conventionnelle de X produit physiquement les mêmes effets que la soustraction en algèbre; qu’il y a, par conséquent, équivalence entre cette propriété et l’opération soustractive, qui en devient ainsi le représentant légitime, de sorte que l’on se trouve autorise à dire que ce qu’on avait voulu distinguer par l'accentuation de X le sera d’une telle manière par le signe —, que tous les résultats ma-

<88 DE l’attribbt de direction.

tériels qui sont des conséquences de la propriété que nous considérons se trouveront exactement reproduits dans les calculs algébriques. En résumé, si le module 1 représente les longueurs dirigées dans un sens, le module — 1 sera la représentation algébrique équivalente des longueurs dirigées dans un sens opposé, et, si comme on est dans l’habitude de le faire on veut supprimer dans l’écriture des formules la considération du module, reportant sur le nombre qui l’accompagne dans lareprésentation algébrique de.s quantités les effets du signe soustractif, on pourra dire que, pour avoir égard à l’opposition dans le mode d’existence de la longueur, relativement à son conjugué, il faut considérer comme diminutif le nombre de fois qui le représente. On voit que, dans le cas particulier où les deux longueurs et bV seraient égales, leur addition ramènerait au point fixe. De sorte qu’en ce qui concerne le quantum de longueur obtenu, le résultat de l’opération serait zéro. C’est aussi ce qui arrivera dans le calcul, puisque dans ce cas b étant égal à a, l'une sera représentée par aX, l’autre par — al, et que ces deux expressions s’annulent par leur réunion.

Il est d'ailleurs évident que la nature des développements que nous venons d’exposer est telle que tous nos raisonnements, bien que se rapportant aux longueurs, sont généraux et susceptibles de s’appliquer à toutes les quantités pour lesquelles on aura constaté les deux modes d’existence opposés. Or, pour parler d’une manière générale, nous dirons que l’opposilion dans le mode d’existence entre deux quantités se reconnaît au caractère suivant : c’est que deux quantités, entre lesquelles celte opposition existe, s’anéantissent, relativement à l’un des effets qu’elles peuvent produire et qu’on étudie actuellement, par leur réunion, parleur addition matérielle et physique, lorsque d’ailleurs ces quantités ont la meme valeur absolue.

Ainsi, parce que le mouvement qu’un poids placé dans le plateau d’une balance communique à cet instrument autour d’un axe fixe est anéanti par l’addition d’un poids égal au premier placé dans l’autre plateau, je dirai que les modes d’existence ou d’action de ces poids sont opposés l’un à l’autre.

CUAPITRR IX.

Parce que les phénomènes électriques produits par un corps qui possède une certaine quantité d’électricité vitrée s’anéantissent et disparaissent complètement lorsqu’on ajoute à ce corps une quantitc égale de fluide résineux, je dirai que les deux modes d’existence ou d’action de ces deux fluides sont opposés l’un à l’autre.

Parce que dans le phénomène des interférences la clarté produite par un rayon lumineux se trouve sur certaines bandes anéantie par l'addition d’un rayon lumineux venant de la môme source que le premier et qui lui est par conséquent égal, je dirai que les deux modes d’existence ou d’action do ces deux rayons sont opposés l’un à l’autre.

L’on voit ainsi successivement découler d’un même principe et se rattacher à un même point de départ l’existence de celle classe de propriétés qui, dans les diverses branches des mathématiques appliquées à l’étude des quantités, ont dû ou devront être un jour considérées sous les points de vue positif ou négatif.

Ici vient d’ailleurs se placer une observation qui ne saurait être passée sous silence.

Il est évident à priori, et nous avons eu soin de le mentionner dans la définition qui précède, que ce ne sont pas les quantités elles-mêmes qui doivent s’anéantir et disparaître [>ar leur réunion, mais que ce sont les effets qu’elles sont susceptibles d’engendrer séparément et dont on fait actuellement l’étude qui cessent d’être produits.

Ainsi, relativement aux longueurs et à leurs directions, ce ne sont pas les longueurs proprement dites, les chemins qu’elles représentent qui ont disparu; mais ce sont les effets du déplacement par rapport au point de départ qui se sont compensés; un mobile qui aurait suivi les deux longueurs aurait réellement marché, mais cette marche, relativement au point de départ, n’aurait définitivement produit aucun déplacement.

Üe même les deux poids qu’on place dans les plateaux de la balance ne s’anéantissent pas comme poids, et sous ce rapport, au contraire, ils agissent de toute leur énergie sur le point d’appui qui supporte ces plateaux, mais relativement au mouvement que chacun d’eux isolément imprimerai; au fléau, leur réunion, leur existence simultanée sur le même appareil a pour objet de produire le repos.

DE l’attribut de DIRECTION.

De sorte que, dans le premier cas, au point de vue du déplacenaent définitif, les deux longueurs peuvent être considérées comme si elles n’avaient pas existé, tandis qu’au point de vue du chemin parcouru, il faut tenir compte de l’une et de l’autre.

Dans Je second cas, au point de vue du mouvement du fléau de la balance, l’instrument est exactement dans la même situation que s’il n’y avait pas de poids, tandis qu’au point de vue de la résistance du point d’appui, de la pression qu’il supporte, il faut reconnaître que ce point est soumis à la fois à l’action des deux poids.

En suivant cette analogie pour les phénomènes des interférences, on ne dira pas que l’obscurité des bandes est un indice de l’absence delà force lumineuse, mais on comprendra que les mouvements producteurs de la lumière doivent être tels que l’un des rayons sollicitant la rétine dans un certain sens, l’autre rayon la sollicite dans un sens opposé, d’où résulte le repos de l’organe, et en même temps, pour le dire en passant, la conception de la théorie des ondulations.

Pour l’électricité, on ne dira pas non plus que ce que nous appelons fluide vitré et fluide résineux s'anéantissent par leur addition, par leur réunion sur un même corps; mais on sera conduit à penser que ce que nous appelons électricité vitrée n’est autre chose que le développement d’une force qui, relativement à celle qui se développe par l’électricité dite résineuse, a un mode d’existence complètement opposé, de sorte que lorsque ces forces seront telles qu’elles produiront séparément sur un même corps des effets d’égale intensité, elles jouiront de la propriété que le résultat de leur action simultanée sera l’équilibre.

Faisons remarquer, avant d’abandonner ce sujet, que toutes les quantités qui jouissent de la propriété de l’opposition dans le mode d’existence nous offrent le moyen physique d’exécuter par leur addition matérielle de véritables soustractions ; nous verrons qu’il en sera de même pour des opérations autrement compliquées que la soustraction : toutes les fois, en effet, qu’un rapport algébrique quelconque conviendra à une quantité, celle-ci sera susceptible de réaliser ce rapport, dont nous pourrons ainsi obtenir une représentation physique. Le concret

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