CHAPITRE IX

nous viendra ainsi en aide pour interpréter l’abstrait et faciliter sa compréhension dans les circonstances où sesexpressions se présentent à nous sous des formes énigmatiques.

Après cet examen des directions opposées, passons à celui des directions perpendiculaires, et disons d’abord en quoi consiste la loi physique de la perpendicularité.

Supposons qu’on trace sur un plan une ligne droite quelconque sur laquelle on prend un point fixe que nous désignerons constamment par la lettre O. La partie de la ligne qui est à droite du point O considérée comme indéfinie sera appelée OD, celle qui est à gauoiie de ce point considérée à son tour comme indéfinie sera appelée OG. Les longueurs qui à partir de ce point O seront respectivement portées sur OD et sur OG jouiront, par rapport à ce point, de la propriété d’être opposées, de sorte que, X étant le module des longueurs, si celles qui sont situées sur OD sont représentées par aX, celles qui le sont sur OG le seront par — aX ; les premières sont dites positives, les secondes négatives.

Supposons maintenant que nous construisons un angle droit dont le sommet soit en O et dont l’un des côtés soit OD, l’autre côté de cet angle sera une ligne passant par 0 et perpendiculaire à OD. Nous appellerons OP cette perpendiculaire.

Cela posé, construisons à la suite un second angle droit dont le sommet soit encore en O et dont l’un des côtés soit OP : il est établi en géométrie que l’autre côté de ce second angle vient se confondre avec la partie OG de la droite primitive, c’est-à-dire avec la direction négative. Si ensuite on construit un troisième angle droit dont le sommet soit encore en O, et dont l'un des côtés soit OG, l’autre côté de cet angle sera l’opposé de OP, c’est-à-dire la direction négative de OP 3 enfin un quatrième angle droit construit à la suite des trois précédents nous fera exactement retomber sur la direction primitive OD.

De cet examen, il résulte que la loi géométrique de la perpendicularité consiste en ce qu’étant donnée une direction quelconque considérée comme positive, la direction perpendiculaire reproduite deux fois à la suite l’une de l’autre, à partir

DE l’ATTRIBÜT de DIRECTION.

de la iiositivc, conduit à la direction négative, et que reproduilc quatre fois elle fait retomber sur la diréction première; il y a donc daiis l’ordre naturel une relation nécessaire entre les directions positive, négative et perpendiculaire, en vertu de laquelle la première de ces dirèctions étant donnée, les autres en sont des dépendances obligées.

La question à résoudre maintenant sera de savoir s’il n’existe pas en algèbre certaines formes et certaines opérations à exécuter sur ces formes jouissant de la propriété d’être l’équivalence, quant aux résultats successifs qu’elles donneront, de ceux auxquels on est conduit par l’emploi géométrique de la perpendicularité.

Ce qui s’offre d’abord à l’esprit, c’est de voir si une expression algébri(]ue encore inconnue que je repsésenterai par x est susceptible, par ses répétitions successives, de produire les mêmes effets que les répétitions d’angle droit.

S’il en était ainsi, ayant pris une longueur a située sur la direction positive, cette même longueur située sur la perpendiculaire devrait avoir pour expression algébrique a+x, puisque j’admets riiypotbèse que x doit être employé par voie d’addition. La seconde perpendiculaire serait donc représentée par a 2X, et puisque celle-ci se' confond avec ladirection négative, je devrais avoir — a=o-[- 2 x, d’où x= — a; x changerait donc pour chaque valeur particulière de la longueur et ne posséderait pas par conséquent le caractère d’invariabilité en vertu duquel nous concevons que la perpendicularité est tout à fait indépendante de la considération des longueurs ; d’un autre côté, comme la quatrième perpendiculaire doit se confondre avec -fa, j’aurais a=a-h4x, d’où a:=0, valeur différente de la première ; et comme elle indique d’ailleurs qu’il n’y aurait rien à faire sur a, nous concevrons qu’à tous les points de vue cet ordre de considérations est impropre à nous conduire au but que nous nous sommes proposé.

Nous insisterons d’ailleurs sur cette considération que la conception des directions est telle que' cet attribut ne saurait apporter aucune altération à une longueur quelconque a; elle a seulement pour objet de nous indiquer que cette longueur existe dans une certaine situation plutôt que dans une autre, et cela sans apporter aucune modification à l’expression numé-

CUAPITHE IX.

rique de cette quantité qui doit toujours être a; c’est ce qui a lieu pour la représentation des directions positive et négative, car dans -|- a comme dans —a la pluralité a reste la même. Or, il serait bien diftlcile de comprendre ce que devrait être x pour que la forme o + x n’altérât pas la pluralité exprimée par o.

Ayant échoué de ce côté nous sommes conduit à recourir à d’autres moyens. Or, nous allons voir que l’examen de ce qui concerne les directions positive et négative va nous mettre sur la voie de ce qu’il peut être permis de faire pour la direction perpendiculaire. Il est évident que l’attribut de direction ne devant pas changer la pluralité qui représente les longueurs, nous ne pouvons guère concevoir que celte condition soit remplie autrement que par quelque signe d’opération qui par luimême n’entraine ni augmentation ni diminution de cette pluralité et qui n’aura d’autre objet que de lui faire remplir, sans l’altérer, telle ou telle autre fonction ; de même que l’opération de faire un angle droit fait remplir à une longueur, tout en la laissant la même, la fonction d’être perpendiculaire à la direction primitive.

C’est ce qui existe pour les deux directions opposées, ainsi <]ue nous l’avons fait remarquer ; on voit évidemment que dans ce cas le signe négatif ne change pas la pluralité et qu’il se borne à l’indication d’un usage particulier qu’il en faudra faire; il satisfait donc à tous égards aux conditions définies: or, dans nos usages algébriques, par suite de ce qui a été démontré au sujet de la règle des signes, le signe soustractif, appliqué à une pluralité, peut être considéré comme l’équivalent de la multiplication de cette pluralité parle facteur — i, et comme ce même facteur algébrique — i appliqué à son tour à la direction négative nous fait retomber, ainsi que cela doit être, sur son opposée, puisque — i multiplié par — i donne + 1, nous voyons que, pour ces deux directions tout au moins, c’est par la voie de facteurs que la coïncidence entre les faits algébriques et les faits naturels se trouve établie.

Enfin, parce que ces deux directions ne sont que des cas particuliers des quatre évolutions que la perpendiculaire doit faire pour qu’en partant d’une direction on s’y trouve ramené, il s’ensuit qu’il n’y a rien que de naturel à admettre que l’expression algébrique générale de la perpendiculaire, si elle est

ÜE l’attribut UE DIRECTION.

possible, 'doit se faire par les mêmes formes et les mêmes moyens que ceux qui conviennent à deux de ses cas particuliers.

Nous sommes ainsi ûnalement conduit à prévoir que c’est par la voie de facteurs qu'il nous sera possible d’obtenir la solution de la question que nous nous sommes proposée.

Ces choses ainsi entendues, si x représente dans cet ordre d'idées le facteur de la première perpendicularité, a? devra représenter celui de la perpendicularité double, c'est-à-dire la direction négative ou — i, a;’ celui de la perpendicularité triple, c'est-à-dire l’opposé de la première perpendicularité ou — x, enfln devra être l’équivalent de la direction primitive ou -1- 1 .

Or, exprimer de tels résultats, c’est évidemment énoncer les propriétés essentielles et caractéristiques de l’expression \j — i, et de là nous concluons qu’en algèbre cette expression représentera par ses diverses puissances les évolutions mêmes auxquelles on est conduit en géométrie par les répétitions successives et juxtà-posées de l’angle droit.

Nous sommes ainsi ramené à ce point de doctrine que \f^ n’est pas autre chose qu’un signe d’opération. À cet égard, les considérations concrètes viennent ajouter le remarquable appui de leur autorité à celles qui se sont présentées à nous comme la conséquence nécessaire de nos premières études théoriques. Si, en effet, est l’équivalent algébrique de la perpendicularité géométrique, c’est-à-dire de l’opération qui consiste à faire un angle droit, n’est-on pas obligé de reconnaître qu’il ne peut être lui-même qu’une opération ?

La question que nous nous étions proposée est donc résolue, et nous sommes maintenant en mesure d’étudier les diverses conséquences qui en résultent pour la conception de la représentation algébrique d’une direction quelle qu’elle soit.

Toutefois, avant d’aborder ce sujet, nous ne devons pas négliger de faire observer que les raisonnements que nous venons d’exposer, bien qu’appliqués aux longueurs, sont susceptibles de convenir à toutes les quantités qui, comme les longueurs, auront des modes d’existence déûnis par des condi-

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lions analogues à celles de la perpendicularité; nous dirons donc dans un sens général :

« Lorsqu’une espèce de quantité possédera entre les deux « états opposés qu’on appelle positif et négatif un troisième U état intermédiaire, et lorsque ce troisième état sera tel que si « après avoir fait, pour l’obtenir, certaines opérations sur l’état a positif, il arrive qu’en répétant sur cet état intermédiaire les « mêmes opérations et dans le même ordre, on passe à l’état « négatif, ce troisième état, disons-nous, devra être repré- « senté dans l’algèbre par l’expression yj — i. »

Par ce moyen nos principes se généralisent, et l’on voit que ce n’est pas une interprétation seulement géométrique des expressions imaginaires que nous présentons ici, mais une interprétation également applicable à toutes les quantités dont les divers modes d’existence sont définis par des conditions analogues à celles qui régissent entre elles les directions soit opposées, soit perpendiculaires.

A ce point de vue nos explications ne se bornent pas à une simple considération de géométrie analytique, leur portée devient aussi générale que possible ; elles ne sont pas le résultat d'une coïncidence observée peut-être par hasard entre une figure de géométrie et quelques expressions algébriques ; elles prennent leur origine dans celte idée préconçue, aussi féconde qu’elle est simple, qu’il y a lieu de se demander et de rechercher si ce qui est lié par la nature n’est pas susceptible de l’être par les opérations de calcul, proclamant d’avance que tout ce qui sera lié de la même manière devra certainement avoir pour expression analytique les mêmes symboles d’opérations, les mêmes rapports.

Occupons-nous maintenant de la représentation générale des directions.

Dans l’étude de cette nouvelle question, comme dans celles qui l’ont précédée, nous commencerons par déterminer les diverses relations géométriques qui existent entre les données; nous examinerons ensuite si l’algèbre nous donne les moyens d’exprimer analytiquement les mêmes relations.

A cet effet revenons à notre ligne fixe sur laquelle nous avons

DK l’attribut de DIRECTION.

pris arbitrairement un point O et dont les deux parties à droite et à gauche de ce point ont été désignées par OD et OG. Nous l’appellerons ligne de base.

Considérons une nouvelle direction OC passant par le point O et faisant un angle a avec la première.

Si d’un point quelconque A, de la nouvelle direction OC, on abaisse une perpendiculaire sur la ligne de base, ce sera un fait géométrique patent que les deux longueurs OA' et A' A, ajoutées ensemble, en ayant égard tant à leurs longueurs qu’à leurs directions, conduiront au point A, comme on y serait arrivé, en suivant la longueur OA sur la direction OC.

Or, nous savons déjà que pour avoir égard à la direction perpendiculaire de AA' sur la ligne de base, il faut que la longueur

AA' soit accompagnée du facteur — i , de sorte que le chemin dirigé OA'A a pour expression analytique OA' + A'Ayf^i.

Ecrivons donc maintenant que cette expression doit être égale à celle du chemin OA pris sur la direction OC.

Dans l’état d’incertitude où nous nous trouvons sur là forme analytique qui doit servir à représenter cette dernière direction, relativement à celle de la ligne de base, nous admettrons, pour un instant, ainsi que nous l’avons pratiqué dans les recherches précédentes, que cette forme consiste en un certain facteur inconnu que nous représenterons para:, de sorte que OA sera représenté tant en longueur qu’en direction par le produit algébrique OA.x. Nous devrons donc avoir, en vertu des précédentes remarques, OA. a:= OA' -t-A'A équation de