IR=V-V' + E

Y — V'=Ej--IR.

R étant la somme des résistances des conducteurs et E^ la somme des forces électromotrices comprises entre A etE.

Cette équation permet de calculer la différence des potentiels de deux points d'un circuit quand on connaît Imtensité du courant qui le traverse, la résistance des conducteurs et les forces électromotrices situées entre ces deux points. Si V = T, on a : E, = IR«

M8 6RANBE0R8 iLBCTltlQUES

Deux points d'un même conducteur peuvent doncayoir le même potentiel bien que le conducteur soit parcouru par un courant, pourvu qu'entre ces points il existe une force électromotrice telle que IR = E.

11 A. En appliquant ces principes aux courants produits par les piles voltaïques ordinaires, on se rend aisément compte de la variation du potentiel le long du circuit dans les divers cas qui peuvent se présenter.

En premier lieu, si le circuit est ouvert, il ne se produit pas de courant, le potentiel est constant dans toute l'étendue de chacun des conducteurs et augmente d'une quantité constante à chaque surface de séparation où se manifeste une force électromotrice. AB, BG, CD et DEifig. 32)

représentant les conducteurs qui forment* les éléments de la pile, A, B, G, D, les surfaces de contact sièges des forces électromotrices, EF et AH les conducteurs extérieurs à la pile, le potentiel est donné par la série des lignes horizontales ff A,, A.B^ B,G^, etc. LadifiFérence des potentiels aux deux pôles de la pile, A et E, est égale à la somme des forces électromotrices A^ A,, B, B,, etc. des éléments dont elle se compose.

Si le circuit de la pile est fermé par un conducteur AHFE (/Iff . 33) , les potentiels sont représentés par une

Fig. 3ï.

Kg. 34.

A. B C là %A

série de lignes parallèles A, B^ , B, G, , etc. (*) ; pour chaque élément et par une ligne moins inclinée D^F'H'Â^ pour le conducteur interpolaire dont la résistance comprend celle du dernier élément et celle du conducteur extérieur.

Enfin, si les deux pôles Â et E (Hg, SA)

sont réunis directement, ou a pour la re-

^iJ^J^sJ^ présentation du potentiel une série de

AX ni lignes parallèles inclinées A,B^, B^C^ etc.

placées toutes à la même hauteur par rapport à l'axe AE, et l'intensité du courant est indépendante du nombre de» éléments.

Quant à la position de Taxe à partir duquel doivent se compter les potentiels, elle se détermine soit par la portion à*jm point du circuit dont on connaît le potentiel, soit par la condition que les quantités d'électricité positive et d'électricité négative qui sont libres soient en quantités égales.

115. Cauranls d'induction. — Dans certains cas la force électromotrice n'a qu'une valeur infiniment faible, mais s'exerce d'une manière continue sur une longueur déterminée d'un même conducteur. C'est ce qui a lieu pour les courants d'induction qui se développent dans un circuit loi'squ'on en rapproche ou qu'on en éloigne un autre circuit traversé par un courant ou encore dans un fil enroulé autour d'un cylindre de fer doux dont on fait varier l'aimantation.

La force électromotrice développée varie avec la vitesse du mouvement qui éloigne ou rapproche le circuit induit du courant fixe ou de l'aimant, et Ton peut faire

(*} On soppoie que les corps qui fonneat les éléments ont la même cfiadacObUlté.

DES GRANDECRS ÉLECTRIQUES

varier ce mouvement de façon qu'elle soit constante pendant un certain temps.

Les lois sont les mêmes quepourles courants vol talques. Si AB (fig. 35) est le fil soumis à l'induction, et si le circuit est ouvert, le potentiel augmente de A à B, et la diflFérence des potentiels BB^ — AA^ = GB^ représente la force électromotrice totale due à T induction, E.

Fig. 35.

Fig. 80.

Si le circuit est fermé par un fil BG (fig. 36) non soumis à l'induction, on a un courant dans la direction ABCA,

et l'intensité du courant est I = ^ p,. R étant la résistance AB et R' la résistance BG, les potentiels sont donnés par deux lignes inclinées en sens contraire.

La différence Y^ — Y» des potentiels en A et B est toujours moindre que E et est d'autant moindre que la résistance R' du fil BG est moins considérable. En effet, on a entre ces deux points :

V»-Va = IR' = Ex

Si enfin le circuit du fil AB est fermé sans conducteur intermédiaire, le potentiel est le même en tous les points du circuit.

On peut donc concevoir des courants électriques produits sans développement de potentiel et par conséquent d'électricité libre. G' est ainsi que doivent êlre envisagés les courants qui, d'après l'hypothèse d'Ampère, produisent

le magnétisme terrestre. La force électromotrice, bien qu'elle soit mesurée et puisse être produite par une différence de potentiel, a donc une signification plus générale. On retrouve un phénomène analogue dans le mouvement de l'eau. Si un tuyau horizontal réunit deux réservoirs pleins d'eau à des niveaux différents, il se produit un écoulement; mais le mouvement peut avoir lieu, même lorsque les deux niveaux sont les mêmes, si l'on met en jeu dans le tuyau une machine hydraulique telle qu'hélice, pompe, etc.

110. Lois des cauranls dans les circuits complexes. — L'étude de la propagation de l'électricité dans les circuits complexes, c'est-à-dire la détermination de l'intensité du courant dans les divers conducteurs, ne présente aucune difficulté quand on connaît leurs résistances et la position des forces électromotrices.

En premier lieu on indique qu'à chaque sommet du circuit, c'est-à-dire à chaque point où se rencontrent plusieurs conducteurs, il arrive autant d'électricité par UQ ou plusieurs d'entre eux qu'il s'en écoule par les autres.

Dans ce but, on suppose aux courants qui circulent dans les conducteurs un sens déterminé, et l'on exprime que la somme des intensités des courants qui aboutissent à un sommet est nulle, en affectant d'un même signe les courants qui se dirigent vers un sommet et d'un p. j^ signe contraire les courants qui s'en

éloignent. Pour le sommet A, par exemple {fig. 37), auquel arrivent 5 conducteurs parcoums par des courants dont les flèches représentent le sens supposé, on aura :

li + li + Ii + U-J.^o.

162 D£S GIIANDËCRS ÉXXCTftIQ(iE&

Eo outre, pour chaque conducteur abouiis«aiit à deux sommets A et B, si V, et V» repré$eQteot les poteMiels de ces pointa» E^ la somme des forces électromotrices qui se trouvent sur le parcours du cooducteur AJ^ et R, sa résistance, on a :

Bn considérant un polygone ABCD, formé des fils 1, 2, 0 et 7, on a de même :

V»-Ve = I,R,-E^, V,-Va = -I.R,-E„

OU eu faisant la somnoie de ces quatre équations, il Yient :

1,R, + le», -f I^Rf — I,R, = El + E, + E7 + E„

c'est-^-dire que la somme des produits qn ou o]>ti6Qt eu multipliant l'intensité dans chaque conducteur par sa résistance est égale à la somme des forces électromotrices, en considérant les intensités comme positives 00 négatives suivant que les courants ont la même direction ou des directions contraires.

En appliquant les deux formules précédentes aux divers sommets d'un circuit et aux polygones qu'on peut foro^er avec les conducteurs, on obtient autant d*éqttati(Mi& qu'il est nécessaire pour déterminer l'intensité en tous ses points» et le signe trouvé fait connaître si le courant marche dans la direction supposée ou en sens contraire. Soit par exemple ifig. 38) le cas des courants dérivés ^ ^ ordinaires, où plusieurs conduc-

teurs 2, 3» & réunissent deux points À et B d'un conducteur AB, sur le parcours duquel se trouve une force électromotrice E, on a les équa*

ET DE LHJR ■ESVRE KN ONllÉS âMOLUES.

timis:

de ces équations os déduit 1b9 vakuis de l^, 1^, 1, ci I^

±+± + 1 Rj R, Rj

i, = IiX

Fig. 39.

Soit encore le cas ou deux dériTations AGB et ADB {fig. 39) sont reliées par un conducteur 6, une seule force

électromotrice £, se trouvant dans le circuit sur le parcours du fil 1. En supposant que le courant art la direction BEA, ADB et AGB, et qu'il parte âa point C dans le conducteur 6, les întensilés aux divers poînis du tîiTcnit se calculent par les éqnatioiis:

ifR»+WW-ïA = o, ifRe + liRs - I4R* = 0,

IiRi + laR» + îfRi = E

Pour que le fit 6 ne soit parcouru par aucun courant. Ta valeur de I, doit être égale à 0; en Indiquant cette condition dans Tes équations» on arrive & la formule bien connue du pont de Wheastone :

117. Propagation dans un milieu conducteur. — La propagation de l'électricité est moins simple dans un milieu conducteur qui n'est pas réduit à de faibles dimensions transversales» tel que l'espace compris entre les deux surfaces kk! et BB'B" {fig. 29).

Ces deux surfaces étant maintenues à des potentiels constants, le fluide se meut de l'une à l'autre surface dans la direction des lignes de force MGDH, M'G'D'H', etc.

La quantité d'électricité qui traverse dans l'unité de temps un petit élément o) = DD' d'une surface de niveau, est, en nommant h la conductibilité du milieu, Y et V les potentiels des deux surfaces de niveau très-voisines DD' et HH', et n leur distance DH :

La distance n n'étant pas constante en général entre deux sm*faces de niveau, cette quantité est variable pour les divers éléments.

On peut nommer intensité spécifique le rapport de la quantité d'électricité qui traverse pendant l'unité de temps un élément d'une surface de niveau à l'étendue de cet élément, ou l'intensité rapportée à Tunité de surface; cette intensité spécifique est en chaque point proportionnelle à la vitesse de l'électricité.

M. Edlund a proposé d'attribuer d'une manière générale le mot intensité à la quantité d'électricité qui traverse normalement l'unité de surface dans un conducteur quelconque ; la quantité totale d'électricité qui passe par un conducteur linéaire serait alors égale au produit de l'intensité par la section. L'action des courants étant proportionnelle à ce produit, il est préférable de le prendre

' ET DE LEUR MESURE EN UNITÉS ABSOLUES. i%t\

poar représenter rintensité, en conservant à ce mot la signification ordinaire.

118. — L'intensité totale du courant est la quantité d'électricité qui traverse dans l'unité de temps une sur* face de niveau.

Pour avoir cette quantité, I, il faut faire la somme des

Taieurs «jA pour toute l'étendue d'une surface

quelconque de niveau, ou pour toute l'étendue de la

surface AA' Hig. 29) par laquelle pénètre le courant, qui

est elle-même une surface de niveau. On peut donc

poser :

Jiat n

ft, V et V étant constants.

Si l'on remplace le milieu compris entre les deux surfaces, dont le potentiel est maintenu constant, par un fil conducteur, la résistance que ce fil devrait avoir pour être parcouru par un courant dont Tintensité serait égale à l'intensité totale du courant qui traverse le milieu représente la résistance de ce dernier.

V et Vi étant les potentiels constants des deux surfaces, on doit avoir :

et en substUaant la valeur de I trouvée précédemment :

D v-Vi 1

166 »BS CKAnDEOftS ÉiMCtWÊQ(CBA

On peut aussi calcnler ht résistance eo imaginant une série de surfaces de niveau très-rapprocbées les ânes des autres et en cherchant la résistance de l'espace entre 09S diverses snrfiices.

Entre deux surfaces de niveau très-voisines, dont les

potentiels sont V et V, la résistance est R = (*) ;

ia somme des résistances ainsi obteoues |K)ur toute Té- Ij^doe du milieu donne sa résistance.

119. — La recherche de ia résistance d'un milieu, qui est subordonnée à celle des surfaces de niveau, ne peut être résolue que dans quelques cas particuliers, tels que celui d'un milieu homogène compris entre deux sphères concentriques ou entre deux cylindres concentriques ou excentriques.

Ainsi soient a et 6 les rayons de deux sphères concentriques et A la conductibilité du milieu com()ris entre elles; les surfaces de niveau sont évidemment des sphères comprises entre les deux sphères eatrèmea» tit la résistance de l'espace com;pris entre deux surfaces de niveau voisines, dont les rayons soat r et r 4- «« est

inhr^'

En faisant varier r depuis a jusqu'à b et faisant la somme des résistances partielles, on trouve aisément

(') En eflèt^ dans l'équatiM précédente, V représente le potentiel de la Burface intérieure AA' {fig. 79), V, celui delà surface extérietire BB'^ «t V «tei d'«M aiutei dt nif«a« lelto 4M GCTEB' Iffèt-volsiM 4e AA'. Si l'on n'envisage que l'espace compris entre les deux surfaces A' et

CG'EE', Vi peut être remplteé pn V et mr mite R = — ^ — .

ET DE Lsim MmmE Eff vmrts aesolubs. l€7

pour la résistaoce totale (*)':

inh ab

Considérons «Dcore le cas de denx cyliidrea oosca*triqnes assez longs pour être considérés comme indéfinis. Les surfaces équipotentieUeB sont des cylindres concentriques, et pour une hauteur / la résistance de l'espace compris entre deux cylindres concentriques très-rappro-

chés, dont les rayons sont r et r + «. est s-r-.; entre les

deux cylindres extrêmes^ la résistance sera égale à la somme des termes qu'on obtient en faisant varier r de a et 6, ce qui donne (^) :

R = r-n l<>Éf nép. -.

Cette formule donne en valeur absolue la résistance si h représente la valeur absolue de la conductibilité spécifique.

C'est la résistance qu'oppose au courant l'enveloppe iscrfante des cibles sous-marins.

120. Constance du produit de la risistance par la capacité H^trottutique. — Nous «vons trouvé : !• pour la eapadté électrostatique de deux sphères concentriques

(*) En remplaçant a par cfr, on a :

{**) On a en effet, en remplaçant a par dr :

4'rA aà

dont les rayons sont a et 6 (n* 55) (*) :

et en multipliant par le pouvoir inducteur spécifique c de la matière qui sépare les deux sphères,

« abxc

2'' pour la capacité électrostatique d'un condensateur de longueur I formé de deux cylindres concentriques

2 log nép. -

OU en tenant compte du pouvoir inducteur,

S log nép. 5

En faisant le produit de la résistance R par la capacité électrostatique, on trouve dans les deux cas :

le produit RS de la résistance par la capacité électrostatique est donc constant.

On peut démontrer la généralité de cette loi.

En adoptant les notations précédentes on a, eu effet, pour l'expression de la résistance d'un milieu compris entre deux surfaces.

R— Y yy X

Rr ( " ) La formule da n'' 55 est ^ — » dans laquelle R repréeeule le rayon

de la sphère extérieure b, et r celui de la sphère Intérieure a.

ET DB LEUR MESURE EN UNITÉS ABSOLUES. i69

D'an autre côté, si Ton regarde les deux surfaces comme formant un condensateur à air, et si l'on représente par Q la charge de la surface intérieure, on a pour la capacité électrostatique S (n** 81) :

La charge totale Q est égale à la somme 2(oS des produits des divers éléments co de la surface par la densité S en chaque point.

On a vu, n"* 83, que la résultante des forces électriques qui s'exercent sur l'unité de quantité à la surface d'un

corps, dont le potentiel est V, a pour valeur f =: ,

en nommant Y le potentiel d'une surface de niveau très- Totûne, et n la longueur de la normale comprise entre les deux surfaces, et qu'elle peut aussi être exprimée en fonction de la densité électrique par l'expression AicS, on a donc :

=: 4ro

d*où

et par suite

47ç(V-Vi)^n*

Si le milieu qui sépare les surfaces extérieures considérées comme formant un condensateur, au lieu d'être de l'air est une substance dont le pouvoir spécifique inducteur soit égal à c, sa 'capacité est:

110 MS GRANDEUliS ÉLBGTTllOtTM.

en multipliant Tune par l'autre les valeurs de R et de S» on a:

ou, si Ton remplace la conductibilité spécifique h par la

résistance spécifique P = t«

Lorsqu*on connaît les coefficients c et h^ pour un milieu déterminé, on peut déduire la résistance qu'offrirait un milieu formé de cette substance de sa capacité électio* statique, ou réciproquement.

Si c et p sont constants, et si Ton fait varier seulement la forme du milieu, le produit de la capacité électrostatique par la résistance reste constant.

(Test ce qui a lieu, par exemple, pour les câbles sousmarins, dont le milieu isolant est ordinairement de la gutta-percha. Quelles que soient les dimensions adoptées pour le conducteur et l'épaisseur de la gutta-percha, le produit de la capacité électrostatique de l'enveloppe par sa résistance est une constante qui dépend uniquemeiU; de la qualité de la matière isolante, et qui est la même pour la plupart des cftbles construits dans ces dernières années avec la gutta-percha perfectionnée.

Muwre m uniiéê éketrmtaitiquts d$ finimsUé

H delà réiigtancé.

121. Mesure de tintensUé. — Lameflore de nnteiiâl6 des courants s'effectue au moyen du galvanomètre, de l'électro-dynamomètre ou du voltamètre. Les résultats

ET DE LStm MBSUftE CK CIHTAb AK0LCE8. 471

80Bi exprimés en unités d'ane Mtre nature que les unilés ^lectrostaAiqves; pour être traasfomis en unités de cette dernière espèce, ils dmrent être muttipKés par un coefficient qui dépend de la forme de l'appareil employé, et qu'on doit déterminer par Texpérience.

Lorsqu'on met l'un des pôles d'une forte pile électrique en communication avec l'use des armatures d'un condensateur dont l'autre armature est reliée à la terre en même temps que le second pôle de la pile, on obtient ime charge qu'on peut évaluer en unités électrostatiques al)solues quand on connaît le potentiel ou la force électromotrice de la pile et la capacité électrostatique du condensateur. Si, après avoir cbangé ce dernier, on le met en communication avec le sol par un fil conducteur, il se décharge en donnant lieu dans le fil à un courant k peu près instantané. En répétant l'opération un grand nombre de fois, à des intervalles très-rapprochés, ce qu'on peut réaliser au moyen d'une roue interruptrice, on produit dans le fil un courant à peu près continu, dont Tintensité en unités électrostatiques est égale au produit de la charge par le nombre de décharges effectuées pendant une seconde. En faisant traverser à ce courant le fil d'un galvanomètre, on obtient une déviation de l'aiguille qui correspond à cette intensité, ce qui permet d'en déduire, si le galvanomètre est gradué, l'intensité correspondant à une déviation quelconque.

122. Mesure de la résistance. — La mesure de la résistance d'un conducteur en unités électrostatiques peut «^effectuer directement lorsque ce conducteur est formé d'une substance dont la résistance spécifique est trèsgrande, ainsi que cela a lieu pour le caoutchouc, la guttapercha, la soie, etc. Pour obtenir cette résistance, on met Tme des extrémités du eondocteur en emnnumcation

avec un corps métallique électrisé et l'autre avec la terre, puis on observe au moyen d'un électromëtre la vitesse avec laquelle s'opère la décharge.

Soit Q la charge du corps conducteur électrisé, S sa capacité électrostatique et V le potentiel de la charge, on a :