Les unités dérivées se déduisent des relations
BT DB LEUR MESURE EN UNITES ABSOLUES. Si
cpn les lient aux unités dont on veut les faires dépendre. Supposons que A représente une grandeur d'une certaine espèce, liée à d'autres grandeurs par une relation connue A=^(a, &« c, ...) : pour une autre valeur de a, 6 et c, on aura A'=/'(a', 6', ^, •..), d'où l'on tire
Si l'on prend A pour unité, ou aura pour la valeur de A' en fonction de cette unité
Le coeflScient K représentant la valeur de la fonction /(a, 6, e, •••) qui correspond à l'unité A.
^ Ton veut éviter l'emploi de ce coefficient, qui est inutile et ne peut qu'embarrasser dans les calculs, il faut, au lieu de prendre arbitrairement l'unité A, la choisir de telle façon que^(a, 6, c, •••) soit égal à l'unité.
L'équation /(a, b, c, ...)=i contenant plusieurs inconnues peut être résolue de plusieurs manières ; on choisit natnrellement celle qui donne la définition la plus simple de l'unité A, en prenant, lorsqu'il est possible, 0 = 1, & = 1, c = l, etc.
Lorsqu'il s'agit d'unités élémentaires comme celles de surface, de volume, de vitesse, etc. , il ne peut se présenter aucune difiiculté, mais il n'en est pas de même pour certaines grandeurs physiques, telles que les grandeurs électriques ou magnétiques, car il peut exister entre elles et les autres grandeurs plusieurs relations entre lesquelles on est obligé de choisir. De plus, les lois trouvées par l'expérience s'appliquent quelquefois à des éléments infiniment petits, qui ne permettent pas de déterminer directement la grandeur véritable de l'unité.
22 DES GRANDEURS iUGTRIQUKS
Les unités se divisent en deux catégories, les unités fondamentales et les unités dérivées.
Les premières sont celles qu'on fixe préalablement d'une manière arbitraire ; leur nombre doit être aussi restreint qu^ possible et leur grandeur doit être détermi-* née de façon à leur assurer une même valeur pour tous les points de la terre et une constance qui ne puisse être mise en doute.
Unités fondamentales»
18. -^ On aurait pu à la rigueur réduire à deux le nombre des unités fondamentales en faisant intervenir la loi de la gravitation universelle. Les unités de longueur et de masse étant fixées, on aurait pris pour unité de force celle avec laquelle s'attirent deux masses égales à Tunité situées à l'unité de distance, puis de l'unité de force on aurait déduit l'unité de temps. Mais, en fait, on a adopté trois unités fondamentales, l'unité de temps, l'unité de longueur et l'unité de masse.
19. — Unité de temps. — L'unité de temps adoptée dans tous les pays civilisés est la seconde. Sa Valeur est la 86,â00"' partie du jour moyen solaire, dont la durée a été fixée très-exactement par les observations astronomiques. Il a été prouvé que cette durée n'a pas varié d'une manière sensible depuis plusieurs milliers d'années.
20. — Unité de longueur, «^ L'unité de longueur est encore variable d'un pays à l'autre. Celle dont l'usage tend à se généraliser est le mètre qui est la dix millionième partie du quart du méridien terrestre.
Des étalons inaltérables, construits avec le plus grand soin par Borda» sont déposés dans les caves de l'Observa*
ET DB UKOR MUaiB BN DVITÉS ABIOLUKS. 93
ime de Parifl «t assurent à cette unité un caractère de pennaoeoce incontestable*.
21, — VnUi de moêu. «^ L'unité de maaee dîna le paterne métrique eat la masse d'un oentimètee cuba d'eao distillée prise au mailmum de densité **; aa ràknf est partout h même. Dans quelques traités on emploie le mot gramme pour représenter Tunité de masse; on n'iit* tache pas alors à ce mot l'idée de force, mais simplement celle de la masse dont le poids est un gramme.
On a construit comme pour le mètre des Étalons métalliques qui représentent l'unité de masse avec une trèsgrande exactitude.
22. — Toutes les unités mécaniques peuvent être déduites de ces trois unités fondamentales, qu'on repré*sente par les lettres T, L et M : T est l'unité de temps, L l'unité de longueur, et M Tunité de masse.
11 est nécessaire de connaître les relations qui lient les unités dérivées aux trois unités fondamentales, afin de pouvoir calculer facilement le changement qu'elles devraient subir si une ou plusieurs des unités fondamentales étaient modifiées, si, par exemple, on passait du système métrique à an autre.
Ces relations constituent ce qu'on nomme les dimentiùns des unités dérivées. Les dimensions de l'unité de surface sont L*. Celles de l'unité de volume L*.
Ces dimensions sont utiles pour vérifier les équations
* Les ealculs de Delambre poar déterminer la longueur dn mètre ont été refaits avec une ploi grande préelsion, et on a reconnu une légérf différence entre le mètre et la dix millionnième partie du quart du méridits temftra, malt l'unité de longueur n'en resta pas moins le mètre tel qu'il a été fixé matérieliemept par Borda*
" Bien qu'elle ait le mètre pour point de départ, l'unité de masse n'en est pas moins une unité arbitraire, car on aurait pu prendre la masse de ranlté de Tolnme de toute autre substance que l'eau.
24 DBS GRANDEURS ÉLKGTRIQDES
auxquelles on est conduit dans les recherches de physique mathématique, car en substituant aux diverses grandeurs que contiennent ces équations leurs dimensions en fonctions des unités fondamentales, l'équation à laquelle on arrive doit toujours être homogène, c'est-àdire que chaque terme doit contenir ces unités au même exposant.
Dniti$ mécaniques dirivies.
28. — Unité de vitesse. — La vitesse d'un corps animé d'un mouvement uniforme est l'espace qu'il parcourt dans l'unité de temps, ou plus généralement le rapport de l'espace parcouru I au temps t employé à la parcourir : v = -•
Dans le cas d'un mouvement varié le temps t et l'espace ( sont considérés comme infiniment petits.
En faisant /= 1 et < = 1, on at?=l. L'unité de vitesse est donc celle d'un mobile animé d*un mouvement uniforme qui dans l'unité de temps parcourt un espace égal à l'unité de longueur. En nommant V l'unité de vitesse, ona:
» — IWl*
Cette équation représente les dimensions de l'unité de vitesse. Cette unité changerait naturellement si l'on adoptait d'autres unités pour la longueur ou le temps. Sa grandeur serdt double si l'on doublait l'unité de longueur, ou si l'on réduisait de moitié celle du temps.
2A. — Unité de vitesse de rotation. — Lorsqu'un sys* tëme mobile tourne autour d'un axe, chacun de ses points décrit un arc de cercle dont le centre est situé sur l'axe fixe.
ET DE 1«ErR MESURE EN CNITÉS ABSOLUES* 25
Si le mouvement est uniforme, la vitesse de rotation u est l'angle décrit par le système pendant l'unité de temps,
ou le rapport- de l'angle de rotation «o à l'intervalle de
temps i employé à le décrire : u = —•
Pendant cet espace de temps, un point quelconque situé à une distance r de Taxe parcourt un espace I égal à
«MT, ou à tt/r» donc : ii= --.
ri
Si l'on considère une révolution entière, I = 2icf , et,
si T est la durée de cette révolution,
On aura l'unité de vitesse de rotation en faisant T = 2ic ou 6,2832.
Ainsi l'unité de vitesse de rotation est celle d'un système qui tournerait de manière à eflectuer une révolution entière en 6 secondes, 2832, ou qui dans une seconde décrirait un angle égal à -ç— = 57*, l^ 11".
25. — Unité de Force. — La force est la cause originelle du mouvement, cause inconnue que l'on ne peut définir que par ses effets.
Une force, en agissant sur un corps, augmente sa vitesse ; la force est dite constante lorsque dans des temps égaux l'augmentation de vitesse, ou l'accélération, est elle même constante.
D'après les principes fondamentaux de la mécanique une force constante qui agit sur un corps est proportionnelle à la masse m de ce corps et à l'accélération v qu'elle imprime pendant un intervalle de temps donné I.
/* étant la grandeur de la force et K un coeOicient oon-
^ ^ . Kmv
stant : f = — — •
Dans le cas d'une force variable, t représente une durée infiniment petite, et v l'augmentation de vitesse également infiniment petite qui correspond à cet espace de temps*
Pour avoir l'unité absolue de force, il faut faire K ^ It m = l, ( = 1, et v = l. Ainsi l'unité de force est celle qui dans l'unité de temps imprime à l'unité de masse une accélération égala & l'unité de vitesse; F étant l'unité de force :
n MV . ^Y Mj
F = -=- , et comme V = ^i
*• — Jf •
Ce sont les dimensions de l'unité de force.
26, La pesanteur fournit un moyen commode pour comparer les forces; on a donc été conduit à adopter* dans la pratique, pour unité de force le poids de l'unité de masse, c'est-à-dire le gramme avec ses multiples et. ses sous-multiples.
Cette unité diffère de l'unité absolue, puisque la vitesse imprimée à un corps par la pesanteur au bout d'une seconde est à Paris de 9 mètres, 8089.
La force F^ qui correspond au poids de l'unité de masse, ou le gramme, doit être exprimée en unités ab-«
solues par le nombre 9, 8089 qu'on représente par g;
F On a donc E^ = j/F, ou F = -i.
Ainsi l'unité absolue de force, est égale au poids de
l'unité de masse divisé par 9,8089 : sa valeur est ^ a^^^
£T DE LEUR MB8URK BN DNIT^S ABSOLUES. 37
Si Yw pread ]» kUogi'Wiine pour unité de forcet on a» eu le représentant par Fj^,
Qd anrait pn, dans le système des unités absolues, adopter pour unité fondamentale Tunité de force au lieu de Punité de masse. L'unité de force aurait été le gramme ou le poids d'un centimètre cube d'eau, et l'on en aurait déduit Tunité de masse qui eût été égale à celle d'un centimètre cube d'eau multipliée par g.
L'intensité de la pesanteur n'est pas partout la même $ elle est modifiée par la force centrifuge due à la rotation de la terre et par la forme un peu aplatie de notre globe Ters les pôles. Sa valeur aux divers points de la terre est donnée par la formule
g = 9.7S0SI4(1 -h 0,00513 8în« X).
\ étant la latitude du lieu d'observation. Elle subit donc de l'équateur au pôle, une variation d'environ 1/2 pour 100. C'est pour cette raison que Gauss et Weber, les auteurs du système des unités absolues, ont préféré adopter comme unité fondamentale l'unité de maase.
La faible variation qu'éprouve la pesanteur aux divers points de la terre oflre peu d'inconvénients dans la pratique ; aussi D'e3t-il pa3 probable que, pour Tusage courant* on substitue jamais l'unité absolue de force au poids de l'unité de masse, ce qui exigerait deux systèmes distincts d'étalons, ou l'emploi constant du coefficient (^ *•
