Le terme A {*) peut se déterminer expérimenta
nt p
(*) A a pour valear, ainsi qu'il a été dit an n« 158, -7- x -. (Voir le
Traité d'électricité de La Rive, tome III , note B, et le Cours de physique de Verdet, tome II.) Le calcul direct de ce terme présenterait des chances d'errenr qu'on éTite en le déterminant par l'eipérience. .
lement par la méthode indiquée au n*' 174 et 173 pour la mesure du produit 2>.[xx A', du moment magnétique d'un aimant par la composante du magnétisme terrestre.
Gauss a démontré en effet que le moment de rotation auquel est soumis un corps suspendu par une suspension bifilaire, écarté de sa position d'équilibre, est sensiblement proportionnel au sinus de l'angle de déviation. L'action est analogue à celle de la pesanteur sur le pendule dont les lois sont applicables, À représentant ici le produit du poids du pendule par la distance du centre de gravité au point d'oscillation.
On a donc, si l'on fait osciller le système et si t est la durée d'un oscillation simple.
- ou A = -7r-
On évite le calcul du moment d'inertie Imr* en opérant comme il a été dit à l'occasion des aimants (n''173), c'est-à-dire en fixant sur une règle attachée à la bobine deux poids égaux, à des distances égales de part et d'autre du centre, en faisant osciller la bobine et en déterminant la durée des oscillations l^ et l^ qui correspondent à deux distances différentes a. et a,.
On a ainsi, si q est la masse des deux poids :
La grandeur de A dépend des unités élémentaires adop« tées, ses dimensions sont î^^'.
198. Mesure électro-magnétique de Pinten$Ué du magnétisme terrestre. — L'intensité du magnétisme terrestre, qui se mesure habituellement à l'aide d'aimants pac
316 DBS GRANDEURS ÊLECTRIQDBS
la^éthode indiquée précédemment (n*" 17A], peut aussi se déterminer au moyen d'un courant électrique.
En faisant traverser à un courant le fil d*une boussole de tangentes à cadre circulaire, on a pour la valeur absolue de l'intensité, si l'aiguille est de 1res petite dimension, en représentant par r le rayon du cadre :
kr tang 6
SiTWC
h étant la composante horizontale de magnétisme terrestre, n le nombre de tours du fil sur la boussole et 0 la déviation.
On en tire :
i r tangO h "~ %ni: '
qui donne le rapport de Tintensité du courant à la composante h.
D'un autre côté si l'on suspend un cadre circulaire entouré d'un fil conducteur dans le plan du méridien magnétique et si Ton fait passer le même courant, d'intensité t, dans le fil, le cadre dévie et prend une position d'équilibre sous Tinfluence du magnétisme terrestre et de la résistance des fils de* suspension, le produit t^ se déduit de l'angle de déviation.
Soit en effet m le nombre des tours du fil sur le cadre, et S la surface enveloppée par l'un deux, le moment magnétique de la bobine parcourue par le courant t est mSt ; le couple dû à la composante horizontale du magnétisme terrestre est mSîA lorsque l'axe de la bobine est normal au plan du méridien magnétique et mSt'A x cos ^ lorsqu'il forme un angle ^ avec le plan méridien.
Le cadre étant suspendu au moyen de deux fils métalliques par lesquels entre et sort le courant, qui consti-
ET DE LEUR MESURE EN UNITAr ABSOLUES. 3i7
tuent une suspension bifilaire , le couple qui tend à le ramener à la position normale lorsqu'il dévie d*un angle ^ est égal à Asin^, A se déterminant comme il vient d'être dit au paragraphe précédent, On a donc dans la position d'équilibre l'équation
mSih ces p = A sio p, qui donne
tA=AtangP; Connaissant le rapport ^ =' A et le produit t/i = B, on
en tire :
^=V/| et /=v^.
On a ainsi, en même temps que l'intensité horizontale dn magnétisme terrestre ft, la valeur absolue de l'intensité î du courant employé .
Cette méthode indiquée par Weber a été appliquée d'abord par M. Kohlrausch , puis en avril 1870 par MM. Cornu et Baille, qui ont déduit de plusieurs expériences la composante horizontale du magnétisme terrestre à Paris et sont arrivés au même chiffre, 1,920, que leur avait donné la méthode de Gauss (*) .
Leur boussole de tangentes était formée de deux tours de fils enroulés sur une bobine en bois de 0"",65 de diamètre, au centre de laquelle était suspendu par un fil de soie un système de petites aiguilles aimantées portant un miroir, sur lequel se réfléchissait l'image d'un point lumineux. Quant au cadre, il se composait de 30 tours de fil fin recouvert, enroulé autour d'une lame métallique circulaire de O'^flOA de diamètre. Deux fils de cuivre fins et
[') Comptes rendus de l'Académie des sciences y 20 Juin 1S70.
318 DES GRANDEURS ÉLEGTKIQUES
isolés de 1 mètre de hauteur et écartés de 5 millimètres servaient à la fois à conduire le courant et à suspendre bifilairement le cadre. On déterminait à l'avance le couple de torsion, A, en suspendant à une règle horizontale fixée au cadre, symétriquement par rapport à Taxe, deux poids égaux (de 100 grammes) , à quatre distances successives espacées de 30 miUimètres et en détermir)ant les durées d'oscillation.
Résistance à donner au fil des galvanomètres.
199. Influence de la résistance des galvanomètres. — Lorsqu'on introduit le fil d'un galvanomètre dans un circuit parcouru par un courant, sa résistance ainsi que l'intensité du courant sont modifiées. La déviation de rsùguille ne fait connaître l'inlensité du courant primitif que si la résistance du fil qui entoure le cadre est négligeable.
Lorsque cette condition n'est pas remplie, il faut, pour avoir l'intensité réelle, faire une seconde expérience, qui consiste, par exemple, à prendre de nouveau la déviation après avoir introduit une résistance additionnelle connue dans le circuit.
Soit E la force électro-motrice qui agit sur un circuit dont la résistance est R, et I l'intensité du courant qu'on veut mesurer, qui est donnée par la formule
Eu introduisant le galvanomètre et mesurant, par la déviation de l'aiguille, l'intensité I, du courant, on a, en désignant par r la résistance du fil qui entoure le cadre,
Si Ton ajoute une résistaDce additionnelle connue p , et si I, est la nouvelle intensité donnée par le galvanomètre «
de ces trois équations on déduit :
Pour que £ soit exprimé en unités absolues, il est nécessaire que les résistances r et p, sdnsi que les intensités If et I,, données par le galvanomètre, soient connues en unités absolues. Cette dernière condition n'est pas nécessaire pour la détermination de la résistance R, puisqu'il n'entre dans la formule que le rapport
ment gradué ou qu^il donne directement ce rapport,
comme le fait la boussole dé sinus ordinaire. De même,
pour la mesure de l'entensité I, il suffit de connaître le
p rapport -.
Quand on mesure l'intensité par une seule expérience, on trouve toujours, par suite de l'introduction du fil du galvanomètre, un chiffre plus faible que l'intensité réelle. La différence I — I^ a pour valeur
E E Er
-^ ; il suffit que le galvanomètre employé soit préalable-
Lé rapport de Terreur commise à l'intensité réelle,
320 DES GRANDEURS ÉLBCTRIOURS
On a donc par une seule expérience l'intensité du cou-
rant avec une approximation donnée, k , si Ton a
ri R R
rT7<1' ^" ^<8irï<8-
Un galvanomètre donnera, par exemple, l'intensité du courant à y^ près, si la résistance de son fil est inférieure au centième de la résistance extérieure.
200. Due autre méthode souvent employée pour obtenir l'intensité d'un courant consiste à relier les deux bornes du galvanomètre par un fil de résistance connue (en anglais $hunt) , de façon à former une dérivation.
Soit 1^ l'intensité du courant observée au galvanomètre, lorsqu'il est installé dans les conditions ordinaires
dans le circuit,
li =
soit I, l'intensité du courant observée lorsqu'on établit une dérivation entre ses deux bornes au moyen d'un fil de résistance a,
- Ett
De ces deux équations on tire les valeurs de E et de R, et par suite celle de l'intensité réelle du courant :
Si l'intensité I^ était trop considérable pour pouvoir être mesurée exactement avec le galvanomètre, on pourrait introduire une nouvelle dérivation entre les bornes du galvanomètre à l'aide d'une seconde résistance a', ce qui conduirait à une nouvelle équation :
Ex'
qui remplacerait l'équation
L'addition d*un fil de dérivation entre les bornes d'un galvanomètre permet d'employer le même instrument pour la mesure de courants dont les intensités sont très différentes, sans que la déviation dépasse 30 à AO degrés, limite à partir de laquelle les variations du courant sont difficiles à observer.
201. Lorsque la résistance extérieure R est très grande par rapport à celle du galvanomètre r , on peut, dans la formule précédente,
Ea
Rr -h Ra + ra
négliger au dénominateur r devant R ; l'expression devient :
I — Ett __ tt E g
«"Rr+Ra-r+g^R^r + a^*-
Le courant 1, qui traverse le galvanomètre est une
fraction, — ; — , du courant à mesurer, I et l'on peut, en
r -f- et
faisant varier la résistance a, maintenir la déviation
dans les limites les plus convenables pour l'observation.
Afin de rendre les calculs plus simples on emploie,
pour les dérivations, des fils dont la résistance est -, ^ ,
VF Vif
^^^ de celle du fil de la bobine du galvanomètre, ce qui
donne pom- le rapport ^ = îô^ ïôô ' ÏTÔÔÔ' ^^^•
Pour faire une observation, on introduit celui des fils
de dérivation qui ramène la déviation dans les limites les plus convenables pour l'observation, et il suffit de multiplier par 10, 100, 1,000, etc., les indications de l'instrument pour avoir la véritable valeur de l'intensité.
Les fils de dérivation doivent être formés, autant que possible, du même métal que celui du galvanomètre, et être placés près de l'instrument pour se trouver sensiblement à la même température.
202. Dimensions du fil à!un galvanomètre qui correspond au maximum d'effet sur Vaiguille. — L'introduction du fil d'un galvanomètre diminue l'intensité du courant, et la diminution est d'autant plus grande que sa conductibilité spécifique est plus faible, que son diamètre est plus petit et que son développement est plus considérable. Il y a donc lieu, tout d'abord, d'adopter pour ce fil un métal très conducteur; celui qui est généralement employé est le cuivre, qu'on peut facilement étirer en fils d'un très petit diamètre. L'action sur Taiguille aimantée augmente avec le nombre des tours du fil, mais, d'un autre côté, la résistance de ce dernier s'ac^ croit avec sa longueur, et l'on comprend que, pour obtenir le maximum d'efiet, il y ait une limite à adopter, limite qui dépend de la résistance extérieure, et dont on doit chercher à se rapprocher le plus possible lorsqu'on veut mesurer des courants d'une très faible intensité.
Dans la plupart des cas, il est vrai, on ne connaît pas exactement la résistance extérieure, mais on a presque toujours des données qui permettent de s'en faire une idée approximative.
203. Le fil recouvert, enroulé sur le cadre d'un galvanomètre ayant une section circulaire , ne peut occuper tout l'espace qui lui est consacré. Chaque section du fil de rayon a est égale à ica', et, si les spires sont parfaite-
KT DE LEUK VESUIIR RN UNrTÉS ABSOLUES. 323
ment superposées, occupe la surface d'un petit carré dont la surface est &«*. Le rapport du Yolume occupé
par le fil au volume total est donc : -r = 0,785.
Lorsque le^ tours de chaque couche se logent dans les interstices de la couche précédente* la surâu^ qui C(HTespond à chaque section, ica% du fil est celle d'un
hexagone régulier dont la surface est 2a'v^S, et le rapport du volume du fil au volume total de la bobine est
Si U représente le volume total, le volume Y du fil (\st donc : V = 0,785 U dans le premier cas, et V = 0,905 D dans le second. On adopte en général la première dispositioo qui est plus facile à obtenir, et souvent mémo on sépare les divers tours par une feuille très mhice de gutta-percha ou de papier paraffiné, ce qui diminue encore le volume occupé par le fil. On a dans ce cas une approximation suffisante pour la pratique, en considérant l'épaisseur de l'enveloppe isolante du fil comme augmentée du quart de l'épaisseur de la feuille isolante.
On peut, en général, adopter pour les galvanomètres des dimensions quelconques, en s' arrêtant seulement à la limite à partir de laquelle les tours de fil conducteur ajoutés n'ont plus sur l'aiguille qu'un effet insignifiant. De plus, afin d'accroître leur sensibilité, on abandonne ordinairement la forme circulaire pour le cadre, et on le dia{)Ofie de façon que les premiers tours soient aussi rapprochés que possible de l'aiguille, tout en lui laissant la place nécessaire pour se mouvoir librement. Quant à la déviation elle est alors marquée sur une échelle graduée
(*} Anmalts télégraphiques, numéru de Mal-Juin 1877.
I 324 DES GKANDEORS ÉLECTRIQUES
par le déplacement de Timage d'un point lumineux fixe qui se réfléchit sur un petit miroir collé sur l'aiguille (*). Les déviations sont d'autant plus amplifiées que Téchelle est placée à une plus grande distance.
204. Supposons d'abord que le volume V, que doit occuper le fil sur le cadre, soit donné, que ce volume soit assez restreint pour que l'on puisse admettre que tous les tours aient la même action sur l'aiguille aimantée, et qu'on ne tienne pas compte de l'épaisseur de la couche isolante du fil. Un calcul bien connu permet de trouver, dans ce cas, le diamètre du fil à employer pour obtenir le maximum d'effet.
Soit l la longueur totale du fil et a son rayon, on a
V = 'rea*/, et par suite I = — r.
Si h représente la conductibilité du métal employé, la résistance r du fil est
La résistance extérieure au galvanomètre étant représentée par R, celle de tout le circuit est :
et l'intensité du courant
nha^
L* action, A, sur l'aiguille aimantée a pour valeur, en représentant par K une constante dépendant de la forme du cadre,
(*) Disposition analogue à celle qui a déjà été décrite à propos de Télectromètre de M. Thomson, n» 69.
KEl
A = Kl/ =
izha*'
oa, en remplaçant / par — ;,
dont la Taieur maximum, lorsque a varie, correspond au cas où
V = ««ARa* ou R = 3^ = r.
La résistance du fil de la bobine doit donc être égale à celle du circuit extérieur. L'intensité du courant est
alors 1.
Lorsque cette condition est remplie, les valeurs de a et de / sont données par les formules
^ K«AR' l* = VRA.
205. Dans le calcul précédent, il n'est pas tenu compte de l'épsdsseur de l'enveloppe isolante du fil conducteur. Cette épaisseur peut être considérée comme indépendante du rayon du fil qu'elle recouvre ; en la représentant par e, le rayon du fil recouvert est a + ^ « et le volume Y correspondant à une longueur I, est :
L'action  de la bobine sur l'aiguille est d'ailleurs, comme dans le cas précédent,
KEZ KEl
326 DBS GRANDEURS ÉLBGTRIQOKS
En remplaçant { par la valeur tirée de l'équation cidessus,
on a:
KicAEVa»
dont le maximum, lorsque a varie, correspond à
En remplaçant dans cette équation V par ic(a + e)'{ et -r-s par r, on est conduit à la relation :
La résistance r du fil du galvanomètre doit donc toujours ôlre moindre que celle du conducteur extérieur R.
Pour trouver les valeurs de r, de a et de I, on a à résoudre les trois équations
nha*
et
L'élimination de / et de r conduit à la relation
(*) On a en eiïet pour dérivée de A par rapport à a
dk gKnAEV[flV—ic«AR(af- c)g*] da "" Liï*^Ra«{tf 4- t.)l -h V.]* qui donne, en égalant le numérateur à zéro,
V = n«AR(a+t)«»
(Voir Annales télégraphiées, numéro de Mai-Juin 1A77).
qui remplace la formule a^ = -ttô correspondant au cas
où l'épaisseur c est nulle.
On conclut de Téquatioti précédente que le diamètre du fil doit être d'autant plus petit que l'épaisseur c de la couche isolante est plus grande.
Quant aux valeurs de / et de r, elles sont données par des équations complètes du quatrième degré.
206. L'épaisseur e de l'enveloppe isolante des fils employés pour la construction des bobines des électroaimants et des galvanomètres est sensiblement égale à 0"*,OA : l'équation qui donne le rayon a du fil est donc
Dans cette formule. Y, R et A doivent être exprimés en unités absolues, en prenant le millimètre pour unité de longueur. R peut être représenté par une longueur réduite de fil de même métal que le fil du galvanomètre, ayant, par exemple, pour longueur L, pour section S, et
par suite pour résistance R=r^; le second terme de
no
l'équation précédente devient alors
vs
et l'équation peut être ramenée à ne plus contenir que des unités de longueur.
Pour trouver a, on peut former, une fois pour toutes, un tableau donnant les diverses valeurs de l'expression a* + 0,OAa' pour des valeurs croissantes de a; il suffît alors, dans chaque cas particulier, de chercher dans ce tableau le chiffre qui se rapproche le plus de la quantité
V vs
coDQue -rr-^ ou -|r-. La valeur de a correspondante fait
1C Ail 7Z L
connaître le diamètre qu'il convient d'adopter.
Ou ne trouve dans le commerce qu'un certain nombre de fils de cuivre , et l'on doit se contenter de choisir le numéro dont le diamètre se rapproche le plus de celui qui produirait le maximum d'effet (*).
Si l'épaisseur e du fil recouvert était proportionnelle au rayon a du fil, on aurait e = nai et la valeur de A deviendrait
KnhEyq*
dont le maximum correspond à
V = 7c»AR(i + n)«a*;
d'un autre côté, l'équation V = 're(a+ €)•! devient
En égalant ces deux valeurs de Y, on est conduit à l'équation
ou
La résistance du fil du galvanomètre doit donc être égale
(*) Voici^ d'après la jauge du commerce, le diamètre des fils de cuivre
qu'on emploie en France pour la fabricaUon des galvanomètres et des électro-aimants :
N* 16 diamètre en millimètres. 0,440
à celle do cîrcait extérieur, comme on pouvait s'y attendre, puisque l'enveloppe isolante produit dans ce cas le m6me effet qu'une diminution de la conductibilité du fil.
207. Forme à donner d la bobine des galvanomètreê een»ible$. — Les tours de fil d'un galvanomètre, alors même qu'ils ont le même rayon, ont évidemment d'autant moins d'action sur l'aiguille qu'ils sont plus éloignés du centre, et l'on comprend que si une longueur donnée de fil doit être enroulée sur le cadre, il y ait avantage à augmenter T épaisseur de la bobine au centre, sauf à la diminuer à mesure que l'on s'en écarte.
SoitO {fig. 52) un des pôles de l'aiguille aimantée.
Pig. K2.
qu'on peut, en raison des faibles dimensions de cette
330 DtS GRANDEURS I^LECTRIQUES
dernière, considérer comme placé au centre do cadre, et AGB la projection d'un tour situé à une distance AO du centre. Une longueur I de fil enroulé sur la circonférence projetée en AGB produit sur le pôle 0 une force dont la composante, suivant la normale OX au plan du courant, est, en désignant par p la distance OA et par co l'angle AOX.
Cette valeur est constante pour un même courant
d'intensité û tant que — p- ne change pas.
Construisons les courbes représentées en coordonnées polaires par l'équation
sin 0) .
ou
p« = a* sin w,
ou bien en coordontiéés reclillgnes, les axes étant XX' et YY', par l'équation
en donnant à a diverses valeurs, et faisons tourner les courbes ainsi obtenues MM', NN', PF autour de l'axe XX'; elles engendreront des surfaces de révolution telles qu'un fil de longueur donnée, enroulé sur chacune d'elles, exercera sur l'aiguille un effet constant, quelle que soit la partie de la surface sur laquelle aura lieu l'enroulement, et que la même longueur enroulée sur une autre surface, plus éloignée du centre,' produira un effet moindre. On doit donc, pour obtenir le maximum d'efiet d'un galvanomètre avec une longeur donnée de fil recouvert, enrouler ce derniet sur le cadre en le disposant de façon
n VB LEDn mesuhe su Dniris aisulueh. 331
qne U sinfece extérienre de la bobuw coïncide avec l'une
de œ» Borfaces, ce qui donne i rinetrument la forme de
la lig. 5S, dans laquelle AB représente la bobine et 0
Fis. "■
l'aimant mobile sur lequel est collé un petit' miroir qui réfléchit l'image d'un point lumineux.
208. Nombre de towt àe fil euTouli sur le cadre qui produit le maximum d'effet. — Lorsqu'on enroule but le cadre d'un galvanomètre uo fil dont la section est donnée, faction des tours diminue à mesure qu'ils s'éloignent du centre, en même tempa que leur résistance augmente; il y a donc une épaisseur de la bobine à adopter pour que l'action sur l'aimant central soit maximum.
Pour trouver cette limite, qui dépend de la résistance eitérieure, supposons le fil enroulé en spirale, ce qui n'ôte rien & la généralité'du résultat {*) .
Soientitetflaconductibilité et la section du fil enroulé sur le cadre, b la distance de deux spires, égale au dia-
mètre du fil recouvert et a la distance OA ifig. 54) du centre au point de départ de ce dernier sur le cadre.
Fig. 54.
On a pour la distance d'un point quelconque D au centre 0, en représentant par <o Tangle qui correspond à ce point, compté depuis Torigine A :
La longueur d'une petite portion du fil, DE, correspondant à un angle DOE = dco est pdco, et sa résistance
