Lorsque M = 0, c'est-à-dire lorsque r

l'équation se réduit à Lu = 0, d'où u = 1 ; on a alors

Supposons, par exemple, que le cadre ait un décimèlre de diamètre, que le fil qui entoure l'aiguille aie 0— ,22 de diamètre (n*» 28 de la jauge, p. 228), et que FépaLsseur de l'enveloppe isolante soit de 0""",04, ce qui donne pour le diamètre total dufil O^^.S; on aura a=50'""", et 6=0"", 15, Le nombre de tours donné par la formule

sera : x = 0,648 x .. .^ — 216; Tépaisseur de la couche du fil correspondant au maximum sera 216 x 0""^^^ ou 64"'",8.

La résistance extérieure R qui correspond à ce cas est

mica*

336 DBS GRANDEURS ÉLECTRIQUKS

Si la résistance R est égale à celle d'un fil de cuivre de longueur I de même section et de même conductibilité que le fil

du galvanomètre, auquel cas R := r-* on aura

, wwca* 60* „^ *»«««« »A» rktt

/= — r- = mn -T-r^ = m X 52.330"" = mx B2",33. b 0,15

Supposons que le cadre ait 5 centimètres de largeur, chaque rangée contiendra un nombre de tours m, égal à

— — . = 166, ce qui conduit à I = 8.680 mètres.

Si la résistance extérieure était fournie par un fil de fer de 0"'"',0i de diamètre, la longueur L de ce fil équivalente à I serait

= '* (jàï'

k étant la conductibilité du fer par rapport au cuivre, qui est

d'environ -. On aurait donc

L' = / X 47 = 407.960 mètres,

soit environ A08 kilomètres.

210. Variation du diamètre du fil. — On peut enfin faire varier le diamètre du fil qui entoure le cadre d'un galvanomètre, de façon à diminuer sa résis< tance à mesure qu'il s'éloigne de l'aiguille. Nous allons chercher la loi de la variation à adopter pour obtenir le maximum d'effet (*), et nous supposerons, pour simplifier, que le cadre soit assez étroit pour que tous les tours de même rayon aient une action identique.

(*) Voir Traité d^éieetricité et de magnétisme de M. Maiwell, t. II.

GoDsidéroDs dans la bobine le volume engendré par la révolation, autour de l'axe, d*uDe petite surface, et supposons que, sans toucher au reste de la bobine, on fasse yarier la dimension du fil dans l'anneau ainsi obtenu ; nous allons chercher la condition à remplir pour obtenir le maximum d'effet.

L'action sur Taiguille d'un courant d'intensité î qui traverse le galvanomètre peut être représentée par «' {G + g), 6 se rapportant à la partie principale de la bobine, que nous considérons comme fixe, et 9 à la partie variable, g dépend de la position de l'anneau par rapport à l'aiguille, et varie avec le nombre des tours de fil que contient cet anneau ; sa valeur est par conséquent une fonction du rayon de ce fil , rayon que nous représenterons par y.

L'intensité du courant a pour expression 1 = ^^^ — ,

E étant la force électro-motrice, R la résistance extérieure, r celle de la partie fixe de la bobine et r^ celle de la partie variable, qui est aussi fonction du rayon y du fiil. L'action A sur l'aiguille est donc :

g et r^ sont seuls variables dans cette expression, qu'il faut rendre maximum en faisant varier le rayon y du fil enroulé dans l'espace annulaire considéré.

Pour obtenir Féquation de condition , il suffit d'égaler à zéro la dérivée de A par rapport à y, cé'qui conduit à l'équation

ày ^ G + g

dtj R + r+rt'

Représentons par B la petite surface qui engendre l'espace annulaire (*), par x sa distance du centre du galvanomètre et par Y le rayon du fil recouvert de son enveloppe isolante, Y étant une fonction de y qui dépend de la manière dont le fil est recouvert : on aura pour le nombre de tours contenus dans Tanneau engendré par 6 :

-TT5 , et pour la valeur de g :

Quant à la résistance r,, elle est, en désignant par k la conductibilité du métal employé,

On déduit de ces deux expressions :

dg ____ 4B dY dy" xVdy'

dy" Ar«y'Y«W Ydy;'

et par suite Téquation de condition devient :

dY ^y' dy G + g

\y dy) (*) Ou plutôt ceue snrfaee moUlptiée par -• oa par (n* 202;.

g* f^dy .\ R-hr + r^

r, et 9 peinreat 6tre considérés comme très petits et négligeables devant R + r et 6, et par suite le second membre de l'équation est constant, et Ton peut poser

G étant une constante. A la limite cette équation est rigoureusement exacte.

211. Si l'enveloppe isolante a une épaisseur c« indépendante du diamètre du fil,

Y = y -t- 8 et ^ = < ; l'équation devient alors

Le rayon y du fil doit donc croître avec x, mais dans une proportion moins forte.

Supposons que l'épaisseur de l'enveloppe isolante soit négligeable ou proporiionnelle au rayon du fil , on aura :

y-dy *^' ydS"^^

et par conséquent l'équation se réduit à

±L - c ou ^ = a,

j^ étant une constante.

Le diamètre du fil conducteur, y, doit dans ce cas croître proportionnellement au rayon, x, delà circonférence sur laquelle il est enroulé «

Supposons qu'on adopte cette dernière combinaison, et calculons la valeur de 6 et de r.

Il suffit de remplacer, dans les équations g = ^j-

ou cr^y ^ étant le rapport du diamètre du fil recouvert à celui du fil nu, ce qui conduit à*:

dG = ,^> 1 et <ir =

Enfin, dans le cas que nous avons supposé, où la bobine est cylindrique et où tous les tours de fil de même rayon ont la même action sur l'aimant, on peut remplacer B par la surface comprise entre deux parallèles à l'axe de la bobine situées à des distances très voisines x%ix + dx^ et égale par conséquent iNdo:, N étant la longueur de la bobine.

Les valeurs de dG et de ir deviennent alors :

,^ 2Nda? dG =

dr —

%^dx

d'où on tire les intégrales

a étant une constante qui dépend de l'espace libre laissé autour de l'aimant, et x^ le rayon du tour le plus éloigné du centre du galvanomètre.

On en déduit pour la force, M, qui agit sur Taigaille :

Supposons que l'espace occupé par le fil restaut constant, on fasse varier le rapport ~ .= a, la valeur de M changera et son maximum correspondra au cas où

c'est-à-dire au cas où

En remplaçant -5 par ti, dans la formule qui donne la valeur de M, elle prend en effet la forme bien connue i, dont le maximum, lorsque u varie seul, corres*

pond à ti' = Â.

On arrive donc à ce résultat remarquable que la résistance du fil conducteur du galvanomètre doit être égale à celle du circuit extérieur, comme dans le cas où le fil a une section constante et où tous les tours ont la même action.

Le rapport -^ ==a qui convient dans chaque cas parti-

culier peut se déduire de l'équation précédente qui donne enefTet

L'action sur l'aiguille du galvanomètre est, lorsque cette condition est remplie :

(') Voir Tartlcle publié par MM. Ayrton et Joho Perry daos le Journal of The Society of telegraph Btigineers, n* XXIH.

Elle augmente en même temps que x^ mais Tinfluence de l'accroissement des dimensions du cadre diminue à mesure que le rayon x^ devient plus grand. La limite de M est :

212. Dans le calcul précédent, nous avons supposé le cadre assez étroit pour qu'on pût considérer tous les tours du fil de même rayon comme ayant une même action sur l'aiguille ; mais en réalité il n'en est pas ainsi et on a vu (n"" 207) qu'une longueur donnée de fil parcourue par un courant, pour produire un effet constant sur l'aimant d'un galvanomètre, doit être enroulée à des distances différentes de Taxe, sur une des surfaces de révolution engendrée, par la révolution des courbes de la figure 52, qui sont données par l'équation

p« = a" sin «I).

Le fil enroulé sur chacune de ces surfaces agissant de même, à longueur égale, sur Taiguille, doit avoir la même section; de plus, le calcul que nous venons de faire pour obtenir le diamètre du fil , s'applique au cas où Ton considère le fil enroulé sur la partie médiane de la bobine, en MM', NN'. PF {fig. 62).

La loi du diamètre du fil s'applique donc à chacune des couches de la bobine comprises entre deux surfaces voisines engendrées par les courbes que donne l'équation p'=a'sin(i>, et ce diamètre doit être proportionnel au rayon de la surface qui correspond à l'axe ÛT^ c'est-àdire à OM, ON, OP,etc.

On peut aussi démontrer que ce maximum correspond,

ET DB LBUR HKSURE EN ONITAs ABSOLUES. 343

comme dans le cas où l'on considère un cadre étroit, au cas où la résistance de la bobine est égale à la résistance extérieure.

On ne peut songer dans la pratique à faire varier d'une manière continue le diamètre du fil qui entoure T aiguille d'un galvanomètre, et Ton se contente de former le conducteur de plusieurs fils de diamètres différents en commençant par le plus fin, et en se rapprochant le plus possible de la loi précédente. C'est ainsi que sont construits les galvanomètres très sensibles destinés à observer les courants produits par de faibles forces électromotrices.

Mesure électro-magnétique des courants instantanés.

213. Lorsqu'un courant instantané, tel que celui qui est produit par la décharge d'une bouteille de Leyde ou dans certains cas par l'induction, traverse le fil d'un galvanomètre, il n'agit sur l'aiguille aimantée que pendant un instant extrêmement court, et par conséquent ne produit pas de déviation permanente. Sous cette action , l'aiguille est brusquement écartée de sa position d'équilibre et décrit une série d'oscillations qui décroissent peu à peu par l'effet des frottements et de la résistance de l'air.

On peut cependant , de l'angle que décrit l'aiguille pendant la première oscillation, déduire la quantité d'électridté qui a traversé le galvanomètre, comme on déduit de r angle décrit par le pendule balistique la quantité de mouvement du projectile qui l'a frappé.

Lorsqu'un courant constant d'intensité I passe à travers le fil d'un galvanomètre, dont l'aiguille est maintenue

dans le plan du cadre, chacun des pôles est soumis à une force égale à

N(xl,

[X étant la quantité de magnétisme libre à chaque pôle de l'aiguille et N une constante qui dépend de la forme du galvanomètre et du nombre de tours de fil.

Lorsque le cadre est circulaire et l'aiguille assez petite, la valeur de N est, ainsi qu'on l'a vu (n" 191) :

-s ou

inn

l étant la longueur du fil, n le nombre de tours qu'il décrit autour de l'aiguille et r le rayon du cadre.

Si le courant ne passe que pendant un instant très court t, la quantité de mouvement qu'il communique à l'aiguille est N|jLt<, ou NpiQ, Q représentant la quantité d'électricité qui traverse le fil ; l'intensité peut d'ailleurs être constante ou variable pendant le très petit intervalle de temps que dure le mouvement électrique. Si l'aiguille aimantée k'ok (fig, 55) est mobile, elle

dévie rapidement et parcourt un certain angle AOB; puis elle revient sur ses pas sous l'action du magnétisme terrestre et décrit une série d'oscillations autour de sa position de repos. L'aiguille étant soumise à une force constante et de direction invariable, on peut appliquer à son mouvement les lois du pendule.

La quantité de mouvement qu'elle possède au moment où, après une demi-oscillaiion, elle repasse par la position de repos.

est égale à celle qui lui avait été communiquée, ou à N;jiQ.

On a une autre expression de cette quantité de mouvement lorsqu'on connaît l'angle AOB = a décrit par Taiguille, dont les deux pôles sont soumis à deux forces constantes contraires parallèles à AD, et égales à piA, h représentant la composante horizontale du magnétisme terrestre.

Supposons que l'aiguille constitue un pendule simple de masse M, de longueur I, et dont le pèle soit situé à Fextrémité, on aura pour cette quantité de mouvement (*)

lA étant la projection de l'arc AB sur OA ; or

I A = /;4 — ces a) = 2/ sin» - «, on a donc :

M V = 2 sin - a ^^l,

La longueur du pendule simple I, dont les oscillations ont la même durée que celles de l'aiguille, est

Imr* étant le moment d'inertie de la moitié de l'aiguille OA, dont la masse est M, par rapport à l'axe de rotation 0, et X la distance du point d'application de la force, ou du pôle magnétique, au même axe.

{*) La formale du pendule simple ordinaire est i;= ^2^, v étant la Titetee au point le plus iMiS; g l'intensité de la pesanteur et a la diflérenec de nlreaa entre le point de départ du corps oscillant et le point le pîQs bas. En moltlpllant les deux termes par la masse du pendule, M, l'équation devient Mv s ^2^M>a. Or ^M est la force qui agit sur le pendule on le poids du eorpe, qui correspond à {x/i dans le cas d'une aiguille aimantée oscillant sous l'action du magnétisme terreatrf .

Mv a donc pour valeur :

et par suite

NiiQ = 2 8in-ayî=-j — .

On peut éliminer Imr* et X en faisant osciller l'aiguille librement, et en calculant la durée t d'une oscillation simple qu'on déduit du nombre d'oscillations décrites pendant un intervalle de temps déterminé. La théorie du pendule donne en effet :

et par suite l'équation ci-deasus devient

d'où

2 sin - a X th[L N|xû= ^

Ssin -ax/A û = ?

Si le galvanomètre est une boussole de tangentes à cadre circvilaîre, N = — et Q devient

sin 5 a X trk

qui donne la valeur de Q en unités électro-maguétiques absolues.

n Voir n* i7i. La yaleur de t porte au déuomluateur 2X, au d* 171, parce que, dans la funnulp, Zm»** représente le nioment d'inerUe de l'aiguille entière; tandis qu'ici il ne correspond qu'à la moitié de l'aiguille.

21 A. On peut mettre la formule sous une autre forme.

Si le gaWanomètre employé est une boussole de tangentes et si un courant d'intensité t donne une déviation 0, on a

^ AUDge

Si I représente le courant qui donne un angle de AS"*, on aura

d'où

tai)g45* = i tt N = p

2 sin -« X (/ tt= ~

On aurait la même formule avec un galvanomètre de sinus, mais I serait alors l'intensité du courant qui donne une déviation égale à 90*.

215. Lorsqu'on peut reproduire continuellement dans des conditions déterminées une charge donnée, on peut mesurer la quantité d'électricité qui la constitue en faisant passer à des intervalles de temps égaux , très rapprochés, une succession de décharges à travers le fil d'un galvanomètre , de manière à obtenir une déviation permanente. On détermine la valeur du courant qui produirait cette déviation et, en divisant cette valeur par le nombre de décharges qui ont eu lieu pendant une seconde, on obtient la mesure électro-uiag»étique do la charge.

2i6. Si le courant inst.intané à mesurer est trop faible pour donner une déviation qu'on puisse facilement observer et M on peut le reproduire à volonté, on

348 DBS GRANDEURS ÉLECTRIQUES

lui fait traverser le galvanomètre à des intervalles tels qu'il agisse sur l'aiguille au moment où , pendant ses oscillations, elle passe par le zéro du galvanomètre, et de façon que les actions successives qu'il exerce sur l'ai-*, guille s'ajoutent.

L'amplitude des oscillations s' accroît peu à peu. Lorsqu'elles peuvent être facilement observées et mesurées on déduit de cette amplitude, en appliquant une des formules précédentes, la quantité totale d'électricité qui a traversé le fil du galvanomètre; en divisant le nombre ainsi trouvé par celui des émissions, on a la mesure de chacune d'elles.

Lorsqu'on peut envoyer facilement dans le galvanomètre des courants instantanés égaux et de directions opposées, on abrège l'opération en faisant traverser le fil du galvanomètre, au moment où l'aiguille passe sur le zéro, par des courants de sens contraire , de façon que leur action sur l'aiguille s'ajoute.

Il peut arriver que les premières oscillations de l'aiguille soient trop faibles pour qu'on puisse les observer facilement ei faire à temps les émissions de courant ; on peut y remédier en imprimant d'abord à l'aiguille un léger mouvement qui lui fasse décrire un angle que l'on note, puis on envoie la charge un certain nombre de fois comme il vient d'être dit. Soit p le premier angle et y celui que décrit l'aiguille au bout d'un certain nombre d'émissions, on a, pour la quantité totale, Q, d'électricité qui a traversé le fil, en conservant les notations précédentes :

îiA^sin-Y — singpj

En efiiet, si VLv est la quantité de mouvement commu-

DÎquée d'abord à l'aiguille pour lui faire décrire l'angle ^^

2 sin ^ p X th^

MtJ= ' ;

la quaotité d'électricité Q, en traversant le galvano-

mëtre, produit une quantité de mouvement égale à N|jlQ

qui s'ajoute à la précédente, et, y étant l'amplitude des

nouvelles oscillations, on a :

2 sin - Y X ^^1* MV + NjxU+ ? ,

La différence entre ces deux équations donne

d'où on déduit la valeur de Q.

Si m est le nombre des émissions, chacune d'elles correspond à une quantité d'électricité q dont la valeur est:

rthl sin -y— sin-pj

nmif

si le galvanomètre est une boussole de tangentes de rayon r et ayant n tours de fil.

Il convient de signaler plusieurs causes d'erreur qui influent sur les indications de la boussole, telles que la torsion du fil de suspension et la résistance de l'air, la non -instantanéité des décharges ou courants à mesurer, la différence d'action des divers tours du fil conducteur sur le cadre, et enfin l'induction qui se développe dans ce

350 DES ORAIIDEURS ÉLBCTRIQIIK8

-dernier aous Tinfluence du mouvement de raimanu Toutefois, les erreurs qui en résultent sont négligeables, en général, lorsque l'aimant est de petite dimension et faiblement aimanté, qu'il est soutenu par un fil de soie sans torsion, et que la durée des décharges ne dépasse pas une petite fraction de la durée d'oscillation.