CHAPITRE X
DE l'induction.
Lois de rinduction,
'2i7. Pkénomêneê d'induction. — On sait que les phénomènes d'induction, découverts par Faraday, consistent dans le développement d'une force électro-motrice qui se manifeste dans un conducteur, soit lorsqu'il se meut en présence d'un courant ou d'un aimant, soit lorsque le conducteur restant fixe, le champ magnétique dans lequel il est placé se modifie par le mouvement ou le changement d'intensité d'un courant ou d'un aimant situé dans le voisinage.
Lorsqu'il y a mouvement, la direction du courant d*induction se déduit dans chaque cas particulier de la règle suivante, connue sous le nom de loi de hem : Quand un déplacement relatif a lieu entre un courant ou un aimant et un conducteur, il se produit dans chaque élément de celui-ci une force électro-motrice de direction telle que le courant qu'elle tend à développer s'oppose au mouvement réel, déterminé par la loi d'Ampère.
La force électro-motrice totale, développée dans le drcuit induit est la somme algébrique des forces électromotrices élémentaires, qui peuvent ne pas être toutes du même sens.
Si l'induction est due à un courant qui traverse subi-
352 DES GKANDEURS ÉLECTRIQUES
tement un circuit voisin, sans qu'il y sdt déplacement des conducteurs, chaque élément du circuit inducteur développe dans chacun des éléments du circuit induit une force électro-motrice telle que le courant qu'elle tend à développer produise Téloignement des deux éléments.
Dans le cas où le courant inducteur change d'intensité, on n'a à considérei* que la variation du courant, qu'on peut regarder comme produite par un courant additionnel qui augmente, diminue ou même annule l'intensité du courant primitif.
Enfin, lorsque l'induction est due à l'aimantation d'un corps magnétique, le courant induit a une direction telle qu'il tend à produire dans ce corps un magnétisme conivsive à celui qui s'y développe.
L'induction se produit d'ailleurs non seulement sur les conducteurs voisins d'un courant, mais encore sur son propre circuit, soit lorsque les diverses parties se rapprochent ou s'éloignent, soit lorsque l'intensité se modifie. Dans ce dernier cas, chaque élément réagit sur les portions voisines, et l'efTet augmente naturellement lorsque le circuit forme une bobine dont les tours sont rapprochés, et surtout lorsqu'un électro- aimant est placé à l'intérieur, auquel cas son aimantation ou sa désaimantation accroît notablement l'effet du courant et produit le phénomène connu sous le nom d'extra* courant.
218. En paitant des lois de Lenz et de considérations hypothétiques, Neumann est arrivé à une formule élémentaire de l'induction qui, appliquée à un grand nombre de cas particuliers, a toujours conduit à des résultats que l'expérience a confirmés.
Pour établir la formule exprimant l'induction d'un élé« ment de courant sur un élément de circuit donné.
lorsquan déplacement relatif se produit, Neumann admet que la force électro- motrice d'induction est proportionnelle à la force qui, d'après la loi d'Ampère, agirait entre les deux éléments s'ils étaient parcourus l'un et l'autre par un courant. Cette force est donc proportionnelle à M8ds\ ds et ds! étant les deux éléments, et A l'expression qui figure dans la formule d'Ampère multipliée par 2 (n* 190) :
. __ (2 COS <o — 3 CCS g CCS ol'H'
dans laquelle co représente l'angle que forment les deux éléments, dont la distance est r, a et a' les angles qu'ils forment l'un avec la ligne qui joint les centres, l'autre avec son prolongement, et t' l'intensité du courant qui traverse un seul des éléments, ds'.
La force électromotrice d'induction doit, en outre, varier avec la vitesse et la direction du mouvement relatif; Neumann la considère comme proportionnelle à cette vitesse et au cosinus de l'angle que forme la direction du mouvement avec la ligne des centres, de façon à avoir sa plus grande valeur lorsque les deux éléments se meuvent suivant la ligne qui joint leurs centres, et à être nulle lorsque l'un d'eux se déplace normalement à cette ligne.
On est ainsi conduit à l'expression suivante pour la force électromotrice, 6, développée par le mouvement relatif de deux éléments :
e = KkYcos^dsds'
OU
K(2 ces o> — 3 ces a ces a')i'V ces J/ dsds'
T étant la vitesse relative des deux éléments, ^ l'angle que forme la ligne des centres avec cette vitesse, et K une constante dont la valeur dépend des unités adoptées.
L'intensité, t, du courant induit produit dans le circuit entier, dont R représente la résistance, par le mouvement des éléments ds et ds' est
lLk\cos^dsds' t= g .
Enfln, la quantité d'électricité, 9, qui traverse la section de l'élément du fil induit pendant un petit intervalle de temps dt^ est :
q=iidtz=z ^
ou, en remplaçant la vitesse relative V par — , da étant
le déplacement relatif de l'un des éléments par rapport à l'autre pendant le petit intervalle de temps d/,
]Lkco%^dsds'da q= g .
L'intégrale de ces équations, prise dans toute l'étendue des deux circuits, donne la force électro-motrice totale d'induction, l'intensité résultante du courant induit et la quantité d'électricité mise en mouvement.
219. Si rinduction est produite par le déplacement relatif d'un pôle magnétique et d'un élément de circuit, la force électromotrice d'induction est donnée par une formule semblable, mais le facteur Ads', qui correspond au
courant inducteur, doit être remplacé par '— ^ — , a étant
l'angle que forme l'élément du circuit, d^, avec la ligne qui joint son centre au pôle magnétique |ji, situé à une distance r. L'action du pôle sur un élément de courant ids est en effet (n* 182)
u sin « . ,
' — î — X tds.
Quant à if^ il représente, dans ce cas, l'angle que
forme la direction de la vitesse relative avec la normale
au plan qui passe par le pôle magnétique et l'élénient de
drcuit. En le désignant par f , on a pour Texpreision de
la force électromotrice d'induction, K étant eneore une
ccmstante,
V (i sîB a .. ,
e = K E-— 5 — V ces çdj.
La force électromotrice totale due au pôle [x s'obtient en intégrant cette expression pour toute l'étendue dn circuit. Chacun des pôles qui se trouve dans le voisinage produit une force électromotrice dont la direction dépend des signes de |jl, de ces ^ et de sin a; leur somme algébrique fait connaître la force électromotrice totale.
220. Si le champ magnétique est unifornle et a pour intensité A, la force électromotrice d'induction produite par le déplacement d'un élément ds de circuit s'obtient
en remplaçant dans la formule précédente -4 P^i* ^* ^
qui donne :
e = KAY sin « cos^dsy
9. étant alors l'angle que forme l'élément avec les lignes de force, et <f l' sangle de la vitesse avec la normale au plan mené par l'élément parallèlement aux ligned dé force.
Weber est parti de cette formule pour fixer l'unité absolue de force électromotrice, sans faire itiiervenir le principe de la conservation de la force qui, ainsi qu^on le verra plus loin, conduit au même résultat
En supposant K = 1 dans la formule précédente on à en effet pour la force électromotrice «,
e =hy sin a ces f ds
dans laquelle A, Y et ds peuvent être exprimés en unités absolues.
Si un conducteur rectiligne perpendiculaire aux lignes de force se meut dans un champ magnétique d*un mouvement uniforme normalement à ces lignes et à sa propre direction, on a : a = 90 et ^ = 0, et par suite sin a = cos <p = 1 ; la force électromotrice totale développée est alors, en représentant par l la longueur du conducteur rectiligne :
qui donne e = i pour fc = 1, V = l et I==l.
Nous reviendrons sur ce moyen de déterminer Funité de force électromotrice.
221. Induction produite sans déplacement relatif. — Neumann a ramené l'étude des phénomènes d'induction produits sur un courant fermé par l'aimantation du fer doux ou le changement de magnétisme d'un aimant, sans déplacement de l'un ou de l'autre, au cas où cette induction est due au mouvement de pôles magnétiques, en considérant d'abord deux pôles contraires et égaux placés au même point et ne produisant par conséquent aucun effet; puis il suppose qu'on les déplace de quantités égales, de façon à avoir un aimant qui donne lieu à un courant induit dont la cause se trouve ramenée au mou* vement de pôles magnétiques. En écaitant plus ou moins les pôles, on simule les variations d'intensité de l'aimant inducteur.
Cette manière de faire ne convient, il est vrai, en toute rigueur, qu'à un élément magnétique, mais on peut étendre h tout le système constituant l'aimant ce que l'on fait pour un élément (*).
De l'induction produite dans un circuit par l'aimantation d'un petit élément magnétique on déduit celle d'un
(*) Voir Œuvres de Verdei, t, Vlïl.
petit courant fermé, puis enfin celle d'un courant fermé d'une étendue quelconque, dont la surface peut être décomposée, par la méthode d'Ampère, en une infinité d'aires infiniment petites enveloppées par le courant.
Neumann est ainsi arrivé à l'expression suivante pour la force électromotrice développée dans un élément ds par un autre élément ds\ situé à une distance r et parcouru par un courant subissant pendant un très petit intervalle de temps dt une variation dû
„ di dsds*
K -n cos w,
dt r
Cl) étant l'angle des deux éléments, et K une constante.
D'un autre côté, Weber a été conduit par une méthode différente à la formule suivante :
,, di dsds' ,
K -t: cos a cos «',
dt r
a et a' étant les angles que les deux éléments forment, l'un avec la ligne-qui joint les centres, et l'autre avec son prolongement. Cette formule, qui est différente de celle de Neumann, conduit aux mêmes résultats lorsqu'on l'applique à des courants fermés.
222. Au lieu de ces deux formules, il semble plus naturel d'adopter la suivante qui les comprend l'une et l'autre , et dans laquelle le terme qui correspond aux angles est celui qui se trouve dans la loi d'Ampère :
dsds* di e = K(2cos Cl) — 3 cos a cos a') -r ,
qui donne pour la quantité d'électricité mise en mouvement :
— ^ "X dt __ R(2cos M - 3 cos a cos a') dsdx'di
C'est en effet à cette formule qu'on est conduit si l'on
351 DI8 QRâMDEURS ALBaTRIQlIBB
suppose que rindûctioti eat produite par le déplacement
de r élément ds\ parcouru par un courant d'intensité dU
se ti^ansportant pendant un intel*valle de temps très
court, dl« d'une distance infinie au point où il se trouve en
restant parallèle à lui-môme et en suivant la ligne qui
joint les deux centres.
La quantité d'électricité développée lorsque le courant
passe d'une distance r + dr à une distance r -eai en
effet» d'après la formule du n*" 218 , en remplaçant da par dfj
OU
__ K(2 cos fa) — 3 cosa cosai')dicos^dsds' dr
Si l'on remarque que ^^=0, cos ^=1 , et que l'intégrale de
dr 1
-i-, depuis l'infini jndqu'à r, est égale à-, on retrouve
la formule 6i*dessus.
Phénomènes d^induction déduits du principe de ta conservation de la force.
Î2S. Induction dans un champ uniforme. — HH. Helmboltz et William Thomson , en partant des lois d'Ampère sur l'action réciproque des courants et des aimants , et du principe de la conservation de la force, sont arrivés, sans faire d'ailleurs aucune hypothèse sur l'origine première de l'induction, aux mêmes formules que Neumann, pour l'expression de la force électro-motrice d'induction qui se développe dans un circuit en mouvement dans un champ magnétique.
Considérerons le cas où le champ magnétique est uniforme; c'est celui qui se trouve réalisé lorsqu'un cir-
ET DE LEUR MBSORK EN UNITéf ABSOLUES. 359
cnit en mouvement est soumis à la seule action du magnétisme terrestre.
Soit £ la force électromotrice qui agit sur un conducteur de résistance R, et I Tintensité du courant; la force vive, ou le travail, fournie par la source électrique pendant un intervalle de temps ( est EI(, si la force électromotrice ne change pas, ou si I est assez petit pour qu'on puisse considérer E comme constant pendant cet intervalle de temps.
Lorsque le circuit est au repos et que le courant ne produit pas de travail spécial, la force vive, Eh, est équivalente à la chaleur dégagée dans le conducteur, dont l'équivalent mécanique est I*Ri, en représentant par R la résistance, ce qui conduit à l'équation (n"" 126)
lEt = l^Rt.
Chaque élément, ds, du conducteur est soumis à une force normale au plan mené par l'élément parallèlement aux lignes de force et qui a pour expression
Hlsinae^,
a étant l'angle formé par l'élément ds avec la direction des lignes de force du champ, dont Tintensité est H.
^«- '*• Si une portion du
conducteur est rectiligne et de longueur AB = J {fig. 56), la force résultante qui agit au centre de ce conducteur est
Hll sina, a étant l'angle AOS que forme l'élément avec la direction des lignes de force
NS; cette force est dirigée suivant la normale OC au plan AOSN.
22&. Admettons que cette portion du courant se déplace seule sous l'action du champ, en restant parallèle à elle-même, ce qu'on peut concevoir en supposant qu'elle s'appuie sur deux barres conductrices en communication avec les pôles de la source électrique ; il se produira un travail qui , en représentant par a l'espace parcouru pendant un petit intervalle de temps par un point du courant, sera
Ella sin a,
si le mouvement a lieu suivant la direction OC de la force, et
lllla sin a cos (p,
si le mouvement a lieu suivant une ligne OD formant un angle (p avec OC.
Le travail produit pendant ce mouvement doit correspondre à une perte d'énergie ou de force vive, il faut donc que la chaleur développée dans le circuit diminue. Comme celte chaleur, si la résistance du conducteur ne varie pas, dépend uniquement de l'intensité, on doit eu conclure que l'intensité décroit.
Soit t la nouvelle intensité : la force vive fournie par la source, pendant le temps (, Ëi7, est égale à l'équivavalent, t*R(, de la chaleur développée dans le circuit, augmenté du travail effectué pendant le mouvement, Rila sin a cos (p. Ou a donc :
EU = i*Kt + liila sin a cos 9, d'où Ton déduit pour la nouvelle intensité du courant
E — H/ sin a COS9 X j
Si le mouvement est uniforme, ou si, comme nous l'avons supposé, a représente l'espace parcouru pendant
un intervalle de temps infiniment petit, - est la vitesse
du mouvement; en la représentant par v, la valeur de t devient :
E— lUv sin acosf
11 se produit donc par le fait du mouvement une force électromotrice, e, de direction opposée à celle qui fait mouvoir le conducteur, proportionnelle à la vitesse et qui a pour valeur ;
e=: H/osinacosf,
c'est la force électromotrice d'induction.
Remarquons que H sin a est la composante de l'intensité du champ magnétique suivant une normale à l'élément ÂB (fig. 56) ; si on la représente par A, la valeur de e devient :
e=: hlv ces 9.
Si, par exemple, un courant vertical est mis en mouvement sous l'influence du magnétisme terrestre, la force ëlectromotrice d'induction est représentée par la formule précédente, dans laquelle h est la composante horizontale du magnétisme terrestre.
Lorsque le conducteur rectiligne AB {fig. 56) se meut suivant la direction OG de la force, cos(p = 1 , et e devient :
e = hlv.
L'intensité du courant t est alors :
E — hlv
La force éleciromotrice d'induction hlv augmente à
363 DES GRANDECRS ÉLECTRIQUES
mesure que la vitesse v s'accroît, et le circuit n'est parcouru par aucun courant lorsque
E = hlv ou « = T7 .
Lorsque cette vitesse est atteinte, le conducteur qui repose, ainsi que nous l'avons supposé, sur deux barres parallèles, continue à se mouvoir d'un mouvement uniforme (*).
Supposons, par exemple, que la force électromotrice E soit celle d'un élément Daniell, dont la valeur absolue est environ 10.700 (mètre, seconde et masse du gramme), et que le conducteur vertical mobile se meuve horizontalement; normalement au plan du méridien magnétique , on aura, pour la vitesse théorique qu'atteindrait la barre mobile - — mètres par seconde,
(la composante horizontale du magnétisme terrestre étant 1,92) ou 65.700 mètres par seconde si la longueur l est égale à un mètre.
