Cylindres concentriques. — Considérons {fig
deux cylindres concentriques indéfinis , ou du moins assez longs pour pouvoir être regardés comme tels, ce qui est, par exemple, le cas des câbles sous-marins qui sont de véritables condensateurs dont Tarmature intérieure est formée par le fil conducteur et Fannature extérieure par T enveloppe métallique ou Teau dans laquelle ils sont plongés.
Pour chacun des deux cylindres la distribution de Télectricité est évidemment uniforme et la densité est partout la même.
Soit Q la charge électrique du cylindre intérieur correspondant à
68 DES GRANDEUKS ÉLEGTRIQCES
une longueur (, la charge du cylindre extérieur dans la même étendue est — Q.
Traçons deux plans parallèles voisins situés à une trèspetite distance DI = a Tun de l'autre ; ils découperont sur les deux cylindres deux petits anneaux, dont la charge
électrique sera égale à — .
Le potentiel dû à ces deux anneaux en un point 0 de Taxe est
Qg Qg
ixOE /xOD'
ou, en nommant R le rayon HD du cylindre extérieur, r celui du cylindre intérieur, HE, et x la distance OH,
En menant une série de plans parallèles équidistants, et faisant la somme des potentiels dus aux anneaux ainsi obtenus pour toute l'étendue du cylindre, on trouve pou le potentiel en un point quelconque de l'axe *
V = -^ log nép -
* En remplaçant a par dx, on a poor la différentielle du potentiel
f/V = d'uù
Q/ dx dx \
= 0,0g nép C^JlA^xS)-
En prenant Tlntégrale dans les limites de a;= — oo k x= + <x>, on trouTe
V=^lognépï.
ET DE LECR MRSL'RE ^ CNITÉS ABSOLUES. 6î)
iToù
Slognépâ'
OD en déduit pour la capacité électro-statique 8, qui correspond à la longueur I du cylindre.
2 log nép ï
OU, ai l'on passe des logarithmes naturels aux iogaritbmes ordinaires *,
,, lloge l X 0,434 «log 5 21og5
La densité 8 de l'électricité sur le cylindre intérieur
4;crlognép -
et sur le cylindre extérieur
R' 4]cR log nép —
57. — Soit d la distance des deux surfaces cylindriqoes, d = R — r. En remplaçant R par d + r dans la valeur de Q, on a
dx"-
21ognép^i+^^ Si la distance à des deux cylindres est très-faible par
* Oo sait qae e := 2,7 18 et log e = 0,43439.:
70 ttS GliANttÈUÀS ÉLECtUlOVBS
rapport au rayon r» on peut, en raison de la petitesse de -, remplacer log ftép ( 1 + -) P^^r - , ce qui donne
" ad'
En nommant  .la surface qui correspond à la hauteur l des cylindres, on ft A = 2'nlr, et
la capacité électro-statique S correspoiidâût à la surface  est :
Enfin la densité S de Télectricité a pour valeur
Les cylindres ne peuvent ôtre indéfinis, et la densité est plus grande aux extrémités qu'au milieu ; néanmoins ces formules sont suffisamment exactes dans baucoup de cas. Elles sont applicables notamment aux bouteilles de Leyde.
58. — Au lieu de deux cylindres concentriques indéfinisi BuppotOns qu'on en ait un seul isolé, ce qui est le oas d'un fil télégraphique suspendu dans l'air. Pour avoir la capacité électro-statique d'une longueur ( de ce ÛU il faut faire B infiniment grand dans l'équation du n"" 56.
2 log nép -
ce qui conduit à S = 0.
On arrive à cette conclusioû qu'il n'est pàd possible de
ET DE LeOA lie80«B tn tWlttS ABSOLUES. 1{
communiquer une charge, si petite qu'elle soit, à un Condocteur cylindrique placé dans ces conditions; mais il lant remarquer qu'on ne peut concevoir un fil complètement soustrait à Tinfluence des corps environnants. Un fil télégraphique isolé est situé à une certaine distance du sol, qui agit sur lui comme l'armature extérieure d'un condensateur.
On a donc à calculer la capacité d'un conducteur cy* lindrique indéfini situé à une certaine distance d'un plan également indéfini.
En appliquant la théorie du potentiel à la recherche de la capacité électro-statique d'un condensateur formé de deux cylindres excentriques indéfinis, on arrive à la formule *
, ^ R«H-r»— a*+V^CR + H-a}(RH-r— a)(R— r+a)(R— r— a)' R«+ f^^a*-" v'(R + r + aXR + r~rtXR— r + a)(R~r— a)
dans laquelle R est le rayon du cylindre extérieur, r ce- Ini du cylindre intérieur, a l'excentricité et S la capacité du cylindre intérieur correspondant à une longueur l
Si les cylindres sont concentriques, a = 0, et l'on re* trouve la formule
«lognép-
Pour passer au cas d'un cylindre et d'un plan, on remplace l'excentricité a par sa valeur eu fonction de la plus courte distance d du centre du cylindre intérieur à la circonférence du cylindre extérieur, d = R — d, et l'on suppose R infiniment grand.
* Voir le Journal de physique, n"» d^ayrll et de mai 1874.
1% DES GliANDEURS ÉLECTRIQUES
On arrive ainsi à la formule
log nép 'y ;
r étant très-petit par rapport à d, on peut remplacer
2d l'expression logarithmique par 2 log nép — *, ce qui
conduit à la valeur de S
2 log nép ^'
La capacité d'un fil suspendu horizontalement dans Tair à une certaine distance du sol est donc la même que celle d'un fil de même longueur et de même diamètre qui serait entouré d'une enveloppe cylindrique concen« trique dont le rayon semt double de la hauteur à laquelle se trouve le fil.
59. — CondenscUeurs plans. — Nous examinerons encore les condensateurs à surface plane.
a pour Talear approilmatlve 1 -r^ :
log nép ■ devient log nép
îd»
00, en négligeant rr- derant 2,
Concevons deux conducteurs terminés par deux surfaces planes indéfinies en présence, Tun des corps étant électrisé ou en communication avec une source éiectriqae et l'autre avec la terre ; la densité est uniforme et égale sur les deux surfaces voisines. On pourrait calculer directement sa valeur en fonction du potentiel de la plaque électrisée, mais il est plus simple de la déduire des formules précédentes, en considérant les deux surfaces planes comme appartenant à un condensateur cylindrique dont les rayons sont infiniment grands, ou dont la dis* tance des armatui*es est très-petite par rapport aux rayons (n* 67).
La densité S de l'électricité est, en nommant d la distance des deux surfaces planes et V le potentiel de ceUe qui est électrisée, ou la différence des potentiels des deux surfaces,
Dans la pratique les surfaces sont forcément limitées, et la densité augmente sur les bords, mais l'approximation est sufiisante lorsque la distance d est petite par rapport à l'étendue des surfaces. En outre, les suifaces appartiennent à des plaques ou lames plus ou moins épaisses, et la charge électrique se répartit sur les deux faces de la plaque électrisée.
Soit ABGD la plaque électrisée placée entre les deux plaques EF et 6H (Jig. i 2) qui communiquent avec la terre en T ; la densité S de l'électricité répandue sur la
surface AB est S = t---:; celle de l'électricité répandue
Y sur la face CD est S = -— ;* , d et d' étant les distances
qui séparent les surfisices AB et CD des surfaces voisines
Pig. it.
fj^" ^.y^i^'^'^''y^-'/"'::^"-, -^^-jjih:
EF etGH. La charge totale, Q, qui correspond à une étendue  de la plaque, est
et la capacité électro-statique S,
Si la plaque est d'un côté en présence de l'espace,
ainsi qu'il arrive pour les carreaux fulminants qu'on em-
ploie dans les cabinets de physique, ^ est négligeable ,
et l'on a
û = 4ia-
Lorsque la plaque électrisée est située entre deux au^ très plaques également distantes communiquant avec la terre, d <= d'i et la capacité pour une étendue A est
iîKd'
60« ^^ Condenêaîeufê orMnaireê. *^ Od donne ordi-
naimment aux condensateurs la forme d'une bouteille gante à l'extôrieur et à Fintérieur de feuilles d'élain (iKNiteilIes de Leyde)) Farmature extérieure est en cornmomcation avec la terre, et l'armature intérieure, termi^ née par une tige et un bouton, est miae en communica» tîon aTBC la source électrique. La quantité d'électricité répandue sur les deux armatures n'est pas égale, puisque l'armature extérieure n'est pas entièrement enveloppée par l'armature intérieure \ l'enveloppe est complétée par l'espace environnant, et une petite quantité d'électricité paraît libre pour l'observateur qui se trouve placé entre le bouton et les corpd avoisinants.
A la capacité due aux deux armatures cylindriques
T--^ (n* 57) il faut ajouter celle du bouton extérieur,
mais sa valeur est ordinairement négligeable*
En réunissant plusieurs bouteilles de Leyde et les faisant communiquer entre elles par leurs armatures intérieures on forme une batterie électrique, dont la capacité est ^ale à la somme des capacités de toutes les bouteilles.
Pour avoir sur une petite étendue un condensateur d'une grande capacité électro-statique, on superpose des feoilles d'étain qu'on sépare les unes des autres par du parchemin ou du papier enduit de paraiQne« Les lames de rang pair sont reliées entre elles ainsi que les lames de rang impair ; les unes sont en communication avec la terre et les autres avec la souixe. On a ainsi un conden-
sateur dont la capacité est sensiblement égale à ^--^, A
étant l'étendue totale des feuilles métalliques en commujiication avec la source électrique, et d l'épaisseur du papier ou du parchemiui
61. — Capacité inductrice spécifique. — Faraday a reconnu que la capacité électro-statique d'un condensateur ne dépend pas seulement de la distance des armatures, mais qu'elle varie aussi avec la nature du corps isolant, ou du di-^leclrique, qui les sépare.
Cette influence du corps isolant, qui paraît au premier abord en contradiction avec la loi de l'attraction des deux fluides à distance, s'explique facilement par une polarisation des molécules du di- électrique, en admettant qu'elles sont un peu conductrices et que les fluides élec* triques, bien qu'ils ne passent pas d'une molécule à la suivante, peuvent cependant se séparer dans chacune d'elles. L'efiet est le même que si l'on interposait entre les deux armatures d'un condensateur une ou plusieurs plaques métalliques isolées; la capacité du condensateur augmentersdt par suite de cette interposition.
L'air atmosphérique et en général tous les gaz, simples et composés, ne panassent pas doués de cette propriété de modifier le pouvoir condensant, car la capacité d'un condensateur dont le di-électrique est un gaz reste constante quelles que soient la nature de ce gaz, sa température et sa pression, et est probablement la même que si l'on fusait le vide absolu entre les deux armatures. Lorsque le gaz est remplacé par un autre corps isolant tel que le verre, la résine, la gutta-percha, etc., la capacité du condensateur augmente.
On nomme pou\)oir spécifique inducteur d'une matière isolante le rapport de la capacité électro-statique d'un condensateur dont les armatures seraient séparées par cette substance, à celle qu'il aurait si l'on remplaçait cette dernière par de l'air. En d'autres termes, on prend pour unité de pouvoir inducteur celui de l'air, et on rapporte à cette unité celui des autres corps.
Le tableau suivant donne le pouvoir ipécifique indueleur de quelques substances * :
Air atmosphérique 1,00
Spermacéti I^IS
Verre 1,80
Gomme-ltque. 2,00
Soufre 2,21
Gaontchour^ 2,S0
GoUa-percha perfectionnée 3,00
Gtttta-percba ordinaire .3,80
liOrsqu'on calcule directement la capacité électro-statique d'un condensateur d'après sa forme géométrique, on suppose le pouvoir spécifique inducteur du di-électrique égal à l'unité. Pour avoir la capacité réelle, il faut multiplier le résultat par le nombre qui représente le pouvoir inducteur de la substance qui sépare les deux armatures.
L'influence des di-électriques a conduit Faraday à une théorie de l'électricité qui, si elle ne donne pas la véritable def des phénomènes électriques, parait se rapprocher plus de la vérité que l'hypothèse des deux fluides. Toutefois, cette théorie ne parait pas encore établie sur des bases assez certaines pour être adoptée à l'exclusion de toute autre.
62. — Les phénomènes de condensation sont accompagnés d*effets secondaires qui tiennent à diverses causes.
En premier lieu, la charge complète d'un condensateur n'est instantanée que dans le cas ou le di-électrique est un gaz ; elle augmente ordinairement avec le temps, soit par suite d'une pénétration de l'électricité dans le corps isolant soit parce que la polarisation des molécules de ce
* Le pooToir inducteur varie avec Tèlat de pureté des mntières, la température, etc.; les nombres de ce tableau ne sont donc qu'approximatifs
dernier, ou la séparation des fluides dans chacune d'elles, ne s'effectue que peu à peu.
Pour la même raison, après une première décharge d'un condensateur, on constate toujours une petite charge résiduelle due au fluide retenu par le di- électrique, qui devient libre et peut donner lieu à plusieurs décharges successives qui vont en s'affaiblissant.
Il parait résulter des expériences de M. Gaugain que lorsqu'un condensateur est mis en communication avec une source électrique pendant un instant infiniment court, il prend la même charge quel que soit le di-électrique interposé entre les armatures, air, gaz, caoutchouc, guttapercha, etc. ; mais la charge s'accroît plus ou moins rapidement suivant la nature du corps isolant. La capacité électro-statique varie donc suivant la durée du contact avec la source électrique. Afin d'avoir des nombres comparables, on mesure les capacités en adoptant pour la charge une durée constante ; on admet une minute dans les recherches sur les câbles sous-marins.
Un autre effet tient à ce que les substances qu'on emploie comme di-électriques ne sont pas complètement isolantes. Il se produit entre les deux armatures uite propagation lente de l'électricité qui s'écoule peu à peu et disparait au bout d'un temps plus ou moins long, variable suivant la conductibilité du di-élecrique.
63. — Équation de V équilibre électrique. — Quand on réunit les armatures intérieures de plusieurs condensateurs, ils n'en forment plus qu'un seul dont la capacité électro-statique est égale à la somme des capacités de chacun d'eux.
Si ces condensateurs sont préalablement électrisés, en totalité ou en partie, il se produit une nouvelle distribution des fluides telle que le potentiel des armatures qui
ET DE LEUR MESURE EN CNlTÉft ABSOLUES. 79
sont mifies en communication soit partout le mdme et que la quantité totale d'électricité ou plutôt la somme algébrique des quantités répandues sur les divers con«deosateurs ne change pas*
Ainsi, supposons trois condensateurs dont les capacités électro-statiques soient S, S' et 8", chargés de quantités d'électricité Q, (^ et Q'', et soient V, V et V" les potentiels des trois condensateurs ; on a Q = Y8, Q^ = V'S' et
Si l'on met les armatures intérieures en communication, on formera un seul condensateur de capacité S^ = S + S + S", etc., dont la charge est Q, = Q + (y + Q" et le potentiel
V Qi O + Q' + Q^ vs + V^y 4- V^^S^^
^« "" S, "■ sTs^TS^ "" s + 8' + s*^ •
La charge de chacun des condensateurs partiels se trouve modifiée : pour le premier, elle devient V,S, pour le second, \^S', et pour le troisième, V^S".
Lorsque le nombre des condensateurs est réduit à deux,
