SL
Le travail consommé par cette résistance, pour une course du piston, sera égal à
attendu que le chemin parcouru par l'eau dans le tuyau est égal à
Ce travail de 83 k,n par course du piston exige qu'il transmette un effort moyen égal à
83 kra
et sa surface étant
cet effet correspond à la pression d'une colonne d'eau donnée par la formule
1000ÀH t =325 k ",6,
ce qui donne
qui devra être ajoutée à celle à laquelle la pompe élève l'eau, pour calculer la hauteur de pression qui produit le frottement de la garniture du piston.
L'on doit remarquer que la quantité de travail consommé par la résistance des parois ne dépend que des dimensions des conduits, de la vitesse qu'y prend le liquide, et non de la hauteur à laquelle l'eau est élevée , de sorte qu'elle acquiert sur le rendement de la pompe une influence relative d'autant plus grande que la hauteur d'élévation est moins considérable.
54. Expression des pertes de force vive dans les pompes aspirantes et èlévatoires. — Recherchons maintenant l'expression des pertes de force vive qui se produisent par suite des changements de vitesse éprouvés par le liquide aux divers passages.
Dans la descente du piston, le volume de la tige qui pénètre dans le tuyau d'élévation pendant sa course, est OC, et l'eau qu'il déplace s'élève dans ce tuyau avec une vitesse u donnée par la relation
t*(A-0) = OV, d'où u =T -2L-V,
comme nous l'avons vu en parlant tout à l'heure du frottement du liquide contre les parois.
La force vive que possède le liquide à son débouché dans le réservoir supérieur, est donc pour chaque course
1000. OC 0' vt ~9 ' (A-0)' V -
Le liquide qui passe du dessous au dessus du piston traverse les orifices dont l'aire est A' avec une vitesse relative
dirigée de bas en haut, et rencontre une masse liquide qui n'a dans, le même sens que la vitesse
11 perd donc la vitesse
et comme son volume est AC, la force vive qu'il perd a pour expression
1000 AC /A o y
La somme des pertes de force vive produiles dans la descente du piston est donc
îooo c r o» /a o v* i
— L(â=tô)î o +^-â^ô; a J v -
Les dimensions de la tige sont déterminées par les conditions de résistance aux efforts qu'elle doit supporter, et ordinairement assez faibles pour que le terme A ^ 0 > et à plus
forte raison son carré, puisse être négligé. Mais quelques constructeurs, pour obtenir un débit régulier d'une pompe à simple effet, se sont imposé la condition que la section de la
tige eût une superficie O égaie à ^, afin que , dans les deux
courses simples, il sorti) le même volume d'eau du tuyau d'élévation. Dans ce cas l'on aura
si.
Quoi qu'il en soit, l'aire O est à peu près donnée dans chaque cas, et pour diminuer la perte de force vive dans la descente du piston, il n'y a que l'aire totale A', contraction comprise, des passages à travers le piston que l'on puisse modifier. L'expression ci-dessus montre qu'il faut faire A' aussi grand que possible et atténuer par des contours convenablement arrondis les effets de la contraction à l'entrée de ces orifices. C'est une précaution que les constructeurs négligent trop en général.
Dans la course d'aspiration le volume d'eau qui est élevé
i -, ™n t 1000(A — 0)C par le piston est (A— 0)C,et sa masse est '— .
kl
La vitesse avec laquelle cette eau sort du tuyau et débouche dans la bâche supérieure est V. La force vive communiquée à celle masse d'eau et qui vient s'éteindre dans la bâche est donc
Par l'effet de l'aspiration, l'eau qui pénètre sous le piston et dans le tuyau d'aspiration a pour volume théorique AC,
Celle eau, en s'inlroduisant dans le tuyau d'aspiration, dont la section est Ai, par son extrémité, avec une vitesse qui
est ^- V, y perd après son passage par l'embouchure de ce
tuyau une force vive
que l'on alténuera en rendant m aussi grand que possible ou en diminuant la contraction à l'enjrée et en donnant au tuyau d'aspiration une section aussi voisine que possible de celle du corps de pompe.
Au passage par la soupape d'aspiration, dont l'aire, contraction comprise, est A,', l'eau est animée d'une vitesse
égale à V, cl elle ne conserve après le passage que la vi-
tesse d'ascension V du piston ; par conséquent elle perd à ce passnge la vilesse
et sa masse est
lOOOAC
et la force vive
La somme des pertes de force vive éprouvées par le liquide dans la période d'aspiration est donc
1000(A — 0)C y . 1000AC r/l A 1 A* . /A
L'on voit que l'on atténuera cette perle en diminuant les effets de la contraction à l'entrée du tuyau et au passage par la soupape d'aspiration, et en rendant les aires Ai de section du tuyau d'aspiration et A/ des orifices des passages par les soupapes d'aspiration, contraction comprise, aussi voisines que possible de l'aire A de la section du corps de pompe.
En récapitulant toutes les pertes de force éprouvées par le liquide dans une course double, l'on a pour leur somme l'expression
1000 OC Q' va , 1000 AC [7 A 0 ,V A*
g *(A-0)' T ^ g LU' A — 0/ \ro J Ar
Selon les proportions données aux tuyaux et aux passages, ces quantités peuvent acquérir des valeurs qui exercent beauconp d'influence sur l'effet utile de la pompe, et l'on voit d'ailleurs qu'elles croissent comme le carré de la vitesse moyenne du piston, ce qui montre que celte vitesse doit être en général très-faible.
L'on remarquera en outre que ces pertes de force vive ne dépendent que du volume d'eau élevé, de sa vilesse et, comme nous venons de le dire, des proportions des passages, et nullement de la hauleur à laquelle on élève l'eau, de sorte qu'ellès ont à proportion beaucoup plus d'influence dans le ' cas de petites hauteurs d'élévation que dans celui des grandes ; ce qui explique comment le rendement d'une môme pompe augmente avec la hauteur à laquelle elle élève l'eau.
Nous apprécierons ces résultats par les applications que nous allons. en faire.
3î5. Expression du rendement des pompes élèvatoircs. — Si , après avoir ainsi examiné les diverses quantités de travail développées et les pertes de force vive qui ont lieu dans une course double du piston des pompes aspirantes et élévatoires, nous voulons les réunir pour leur appliquer le principe de la transmission du travail, nous aurons à exprimer que le travail moteur (P + P')C est égal à la somme de toutes les quantités de travail correspondantes aux diverses résistances et pertes de force vive, et qui sont :
1° Le travail ou effet utile
1000ACH=WpH kn ';
2° Le travail résistant du frottement du piston
3° Le travail total consommé par la résistance des parois des conduites qui a pour expression
+ DH' + D'H''^j M, =F l V«C,
en désignant par Fi le facteur constant indépendant de la course et de sa vitesse;
4- La moitié de la somme des forces vives communiquées et perdues pendant celte période, et dout l'expression est
ftooooç o' r/A. o y (L ] Y èL
+.(%-»)]+ 1000 <*- 0 ) C ) Y=IVÇ
en désignant par K le facteur constant indépendant de la course et de la vitesse.
L'on aura donc, pour une course double du piston, la relation
(P + PO C = MtfH + (F + FO C + + KVC.
D'une autre part, l'effet utile de la pompe est égal au produit du poids M<7 de l'eau, réellement élevée par la hauteur II du bassin de réception au-dessus du niveau inférieur, où elle est puisée, ou à MyH.
Par conséquent, le rendement de la pompe ou le rapport de reflet utile au travail moteur aura pour expression
MgVL
Mgll + (F + F') C + FiV'C + KV»C
En divisant les deux termes de celte expression du rendement de la pompe parla hauteur H d'élévation de l'eau, elle devient
Sous cette forme, il est évident que le rendement des pompes de ce genre croît avec la hauteur H à laquelle l'eau est élevée, et qu'il décroît quand la vitesse augmente.
Cette conséquence est tout à fait d'accord avec l'expérience, comme nous le ferons remarquer lorsque nous examinerons les résultats des observations faites sur diverses pompes.
36. Applications, — Appliquons d'abord l'expression de la perte de force vive éprouvée par l'eau dans les pompes élévatoires à une pompe proportionnée, comme nous l'avons supposé au n° 51 , c'est-à-dire pour laquelle on a
Mg
(F-fF) • H
Ai = 0,444A = 0 m 1,00782
On trouve
\T>— ^ZTq) X A = 3,835X0,0176 = 0,067496
(m" 1 ) X Ï" ,XA== 0,443 X 5,0625 X 0,01 76 = °' 039477
et pour la perte de force vive
et par conséquent le travail correspondant à cette perle lotale de force vive se réduit, dans les proportions ci-dessus, à 0 372
==0 k m , 186 par course, quantité très-faible par rapport
à l'effet utile mesuré par le poids de l'eau élevée, et qui est alors, comme on Ta vu, égal à
Mais si, au lieu des proportions précédentes, qui sont celles des pompes bien construites, l'on avait adopté des passages plus petits, les pertes de force vive seraient devenues plus considérables. Supposons en effet
D' = 0,33D, ou A, = ~A
fK 0 ' X 0 = 0,00 1 74 X 0,000705 -= 0,000000 1
(Il - Â^ô)' X A = 3 ' 958 ' X 0,01 76 = °> 275722
(m~~ V x Â"i xA = °' 443 X 81 X 0,0176 = 0,631541
