SL
dans laquelle
S représente le périmètre mouillé par le liquide et contre lequel il glisse,
L la longueur du tuyau ou de la colonne liquide frottante,
bi la valeur du coefficient de la résistance des parois, déduite des expériences de M. Darcy,
U la vitesse relative avec laquelle l'eau glisse par les parois.
Le travail de cette résistance sera égal à son intensité multipliée par le chemin parcouru dans sa direction par le volume d'eau considéré.
Ceci étant rappelé, l'on voit facilement que, dans la période de descente du piston et de sa tige, il se produit deux frottements de l'eau.
Le premier contre la surface du tuyau, dont la longueur
totale parcourue est à peu près H' — -, a lieu avec une vi-
tesse de glissement égale à U = - ^ V et par conséquent a pour expression
1000SL.... 1000 X 3. 14D \ H 2/ - 0» , r , — 5— Mj=- 2 - 6 '(Â=Ô/ V
attendu qu'ici
S = 3.14D L = H' — - en moyenne.
Le travail consommé par le frottement est donc, pour une course G,
Le second frottement développé dans cette demi-course s'exerce contre la tige du piston, qui descend en même temps que l'eau remonte avec une vitesse relative de glissement
et a pour expression
1000SL. rt 1000X3. Ikd ( H "2), A* —T~ 6 > L = 2 - h fï=ô?V.
attendu qu'ici
S=3.14d L=H' — -à peu près.
Le travail consommé par ce frottement est donc pour une course C,
< H '-ïNra? v '- c -
Dans la course d'aspiration du piston, il se produit aussi des frottements qui sont :
1° Le frotlement de l'eau emportée parle piston avec sa vitesse Y, contre les parois du tuyau d'ascension. Ce frottement a pour expression
1000SL 6l]î 1000X3
2 1 2 attendu que Ton a ici
rj
S = 3.14D L = H' — - en moyenne.
Le travail consommé par ce frottement dans une course simple C est donc
2° Le frottement de l'eau qui, dans le corps de pompe, suit le piston avec sa vitesse V. Il a pour expression
1000SL, ITt 1000X3. 14D C, v , __ W = . 5 6 â v,
attendu qu'ici
S = 3. 14D L=- en moyenne.
Le travail consommé par ce frotlemcnt est donc pour une course C
L'on voit donc qu'en ajoutant les deux quantités de travail ci-dessus développées dans le tuyau d'ascension et dans le corps de pompe, elles se réduisent à
iooox8,i> mnflg..
3° Il y a de plus le frottement qui se produit dans le tuyau
d'aspiration avec une vitesse égale à ^-V, et qui a pour expression
1000SL. ... 1000 X 3.14D' A' 2 bil = 2 H * X? V «
attendu qu'ici
Pendant que le piston effectue sa course C, l'eau qui est dans le tuyau d'aspiration glisse à la surface de ce tuyau
d'une longueur j C,et le travail consommé par ce frottement
est pour une course ascendante représentée par
1000 X 3,14 tf^ ^ Ai
En ajoutant toutes les quantités de travail consommées par le frottement de l'eau dans une course double du piston, l'on obtient pour leur somme
1000 X 3.14 ,, vtp Pn (u, C\ 0» J ,/, CA A*
+ mv + nir^J.
Il est facile de reconnaître que, dans la plupart des cas or-
dinaires, le travail de cette résistance peut être négligé, par suite de la faible vitesse que l'eau prend dans les corps de pompe et même dans les tuyaux d'aspiration, et souvent aussi dans les tuyaux d'élévation bien proportionnés et de peu de longueur.
Faisons, en effet, les suppositions suivantes sur les proportions des diverses parties d'une pompe du genre de celle que nous venons d'examiner : .
^ = 0,2D C = 0"\60 V=0"\20 D = 0 m ,15 rf=0-,03 et par suite A=0"">,0177 O=0-*i,04A
D' = 0,66D etparsuite Ài = 0-i t 436À
6 t = 0,000593 pour des tuyaux neufs, et
^ = 0,001186 pour les tuyaux couverts de dépôts (Hydraulique, n° 159),
L'on déduit de ces données
D (il' - (A ^ Q)1 = 0-, 1 5 X 1 8«,7 X 0, 1 74 = 0<,005
d ( H, ~5)(X^ô) i==0m,03xl9 " 7X 1 > 086= ° q > 642
DH' = 0 ra ,16X20 M = 3^,000
1000 X3,14 6iY , c = 1570 x 0 001 186 x 0,04X0,6 = 0,044'
en supposant que les tuyaux soient salis par des dépôts, ce qui donne
(voir la table de M. Darcy, n of 150 et suiv. de YHydr.), et, en définitive, le travail consommé par la résistance des parois dans les conduits serait dans ce cas égal à
tandis que l'effet utile correspondant à ces données serait par course
1000 kiI X X 0-.6 X 29™ = 306*- 24.
L'on voit donc que, dans l'exemple précédent, le travail consommé par le frottement de l'eau dans la pompe est tout à fait négligeable par rapport à l'effet utile.
La vitesse que nous avons supposée au piston, V = 0 m ,20, est convenable et très-faible. Si elle avait été de O-,40, comme il arrive souvent, le travail consommé par la résistance des parois aurait été quadruple et égal à
quantité" encore assez faible dans le cas actuel.
Ce qui montre que dans les pompes de ce genre bien proportionnées l'on peut, sous ce rapport, adopter, sans grand inconvénient, des vitesses plus fortes que dans d'autres conditions.
Dans les grandes pompes élévatoires de mines, à piston creux, le diamètre du tuyau d'aspiration et cejui du tuyau d'élévation sont égaux à celui du corps de pompe. Le second môme est un peu supérieur au diamètre du piston, afin que l'on puisse au besoin retirer celui-ci, quand cela est nécessaire.
II résulte de ces proportions que la résistance des parois est alors tout à fait négligeable, et que, sous le rapport de ci tle résistance, l'on peut faire prendre au piston des vitesses
assez grandes, sans inconvénient. Mais on verra plus loin que celte grande vitesse donnerait lieu à d'autres pertes de travail assez sensibles.
52. Calcul de la résistance des parois dans les pompes foulantes. — Si, au lieu d'une pompe élévatoire, dont le tuyau d'ascension a été supposé de même diamètre que celui du corps de pompe, on avait une pompe foulante, dont le tuyau de refoulement n'eût qu'un diamètre D' = 0 m ,10 ou j| du diamètre D du corps de pompe, la vitesse de l'eau dans ce tuyau serait
jjl V = JV = 2,25 V,
et le chemin parcouru par l'eau dans le tuyau, correspon- , dant à la course C du piston, serait égal à
Dans ces proportions et en supposant que la pompe élève l'eau à la même hauteur, la longueur du tuyau de refoulement serait L == 20 m , et le travail consommé par la résistance des parois de ce tuyau serait
iOWSl = 1000XM4 x o, ,0 X 20 X 0,00 1 272 2 *
pour une vitesse double du piston V = 0 m ,40 en 1", la quantité de travail consommé par la résistance des parois serait
quadruple et égale à
quantité encore assez faible par rapport à l'effet utile.
L'on voit donc que, dans les proportions ordinaires des pompes et quand les conduits de l'eau à la pompe ne sont pas d'une grande longueur et d'un trop petit diamètre, la résistance des parois n'a pas une très-grande influence ; mais il est des cas où elle absorbe au contraire une gnmde por-
tion du travail moteur, c'est en particulier celui des pompes à incendie et des pompes d'arrosage.
53. Application aux pompes à inccn lic. — Mais si, au lieu des proportions précédentes assez convenables pour les diamètres et la vitesse, l'on avait une pompe dont le tuyau de refoulement eût, comme pour les pompes à incendie, un diamètre beaucoup plus petit, dans laquelle la vitesse du piston et par suite celle de l'eau dans le tuyau de refoulement fût beaucoup plus grande, l'influence de la résistance des parois deviendrait plus considérable.
Supposons en effet que Ton ait, comme dans les pompes à incendie du service de la ville de Paris,
= 3,14X0' n ,04 = 0 m ,1256 £, = 0,00166 au moins, d'où
