CHAPITRE PREMIER. ig

irouve homogène et de degré zéro. Mais si, au lieu d'avoir 'sous ce radical le développement de e*^, on avait eu un polynôme d'un nombre fini de termes; en Tisolant et élevant les deux membres à la puissance a, on aurait d'un côté ce polynôme, donl les termes auraient des degrés fixes, et de Tautre des quantités de degré variable avec Tunité de longueur, ce qni serait impossible.

9. Il estd'autres expressions que les exponentielles qui, n^ayantpas de degré déterminé, ne peuvent s'appliquer qu'à des quantités de degré zéro. Ainsi les logarithmes ne peuvent affecter que des quantités de degré zéro, parce qu'ils n'ont aucun degré déterminé, à moins que ce ne soit zéro ; il faut alors que Ton n'ait que des rapports de quantités de même degré ] ils seront indépendants de l'unité de longueur et ils pourront être soumis à des opérations logarithmiques ou exponentielles, et entrer dans des équations homogènes. Quelquefois ces circonstances ne seront pas immédiatement en évidence, par exemple si l'on avait logo: — 'logû, et cependant pourront être recon-

nues, comme dans ce cas où log x — log a = log - •

10. Cas où ilj a des unités (T espèces différentes, — Une équation peut renfermer des grandeurs dont la mesure ne se rapièue pas à une même unité \ les surfaces et les volumes se ramènent à l'unité de longueur, parce qu'elles dépendent toujours de lignes qui les déterminent; mais s'il entrait dans une même équation des lignes et des angles, il faudrait prendre deux unités d'espèces différentes ; une ligne pour mesurer les longueurs, et un angle pour mesurer les angles.

En admettant toujours que l'équation a été trouvée en laissant les unités indéterminées, si l'on suppose qu'on fasse varier l'une quelconque d'entre elles en laissant les

20 SCIENCE DE l'ÉTEMDIIE.

autres constantes, les raisonnements précédents prouvent que réquation doit être homogène par rapport aux quantités de Tespèce de celte unité. D'où Ton conclut qu'elle est homogène séparément par rapport à chacune des espèces différentes de quantités qui y entrent.

Une pareille équation pourrait être ramenée à ne renfermer que des rapports de lignes ou des rapports d^angles; mais ses différents termes peuvent aussi bien renfermer des produits de quantités d'espèces différentes •,. il suffit que l'homogénéité ait lieu séparément pour chaque espèce. Il pourrait bien arriver aussi que l'homogénéité eût lieu séparément pour deux classes distinctes de quantités de même nature. On le reconnaîtra quand l'équation aura été obtenue en supposant que les quantités d'une même classe aieitt été évaluées avec une unité indéterminée, mais différente pour chacune. C'est ce qui arrive par exemple dans la Trigonométrie, lorsque l'on établit des équations entre les côtés des triangles et les lignes qui, comme nous le verrons bientôt, servent à la détermination des angles.

DE LA DÉPEffDANCE ÉTABLIE EUT RE LES DIFFÉKEliTES UNITÉS; SES CONSÉQUENCES SUR LA FORME DES ÉQUATIONS.

11. La mesure d'une grandeur, ou sou rapport à une autre de même espèce, se ramène souvent à la mesure d'autres quantités d'espèces différentes. Ainsi la mesure des surfaces et des solides se ramène à la mesure de certaines lignes *, et si on ne fait entrer ces grandeurs dans le calcul que par leur mesure, il n'en résulte que des équations entre des lignes *, et nous n'avons rien à ajouter sur ce point à ce qui a été dit précédemment, relativement à l'homogénéité.

Mais si la grandeur dépend de deux éléments dV'spèces différentes et que, sans choisir pour unité une des quantités données, on établisse cependant une certaine dépendance