CHAPITRE PREMIER. I

on arriverait à une contradiction si les coeffîcienls des différentes puissances de z n'étaient pas séparément nuls.

Si donc l'équation primitive n'a pas été obtenue par l'addition d'équations homogènes de degrés différents, ce que nous avons recommandé de ne jamais faire, il y a contradiction dans les suppositions; et il est impossible que l'on •ait obtenu une équation de forme constante entre les nombres qui représentent deà lignes, évaluées avec une unité indéterminée.

5. Comment r homogénéité peut cesser d^étre apparente, — Si, après avoir trouvé une équation, en laissant l'unité indéterminée, on vient à la particulariser, et qu'on choisisse à cet -effet une des lignes qui entrent dans cette équation, ou même si on commence par là, les termes cessent d'être de même degré, à moins qu'on ne conserve la trace des facteurs qui deviennent égaux à i 5 ce qu'on ne fait pas puis-' qu'on ne particularise l'unité qu'en vue de simplification. On rétablirait l'homogénéité, en revenant à une unité indéterminée, et en complétant ou en réduisant les degrés des termes par l'introduction de facteurs ou diviseurs représentant l'ancienne unité évaluée au moyen de la nouvelle. La manière la plus simple d'y parvenir sera de remplacer chacune des lettres représentant des lignes dans l'équation homogène par le rapport qu'elle exprime réellement de cette même ligne à celle qui a été choisie pour unité. Tous les termes deviennent alors de degré zéro et l'homogénéité est rétablie.

6. Remarques dwerses, — Si Ton avait eu d'abord des dénominateurs polynômes, nous venons de prouver qu'après qu'on les aura tous fait disparaître, on aura une équation homogène. Or il est bon de remarquer que tous les termes d'un même dénominateur doivent être homogènes entre eux. Car si Ton en considère un quelconque et qu'on fasse dis-

it SCIENCE DE l'étendue.

paraître tous les autres, de sorte qu'il ne subsiste plus que ce dénominateur polynôme, il est évident que s'il n'avait pas tous ses termes de même degré, la multiplication qui le ferait disparaître ne donnerait pas des termes de même degré, comme cela doit être dans une équation composée de termes monômes, et qui n'est pas la somme d'équations homogènes iSe degrés différents.

7. Si l'équation renfermait des racines de polynômes, dont l'indice serait indépendant de l'unité de longueur, on pourrait la rendre rationnelle, et alors elle serait certainement homogène, et les polynômes sous les radicaux devraient l'être eux-mêmes.

Mais si l'on concevait comme possible l'existence d'un radical dont l'indice serait une quantité linéaire^ il serait variable avec l'unité de longueur, et les règles relatives aux indices déterminés pourraient ne plus subsister. Ces cas singidiers devraient être examinés spécialement. Si par exemple on avait

a eix désignant des lignes, il faudrait extraire une racine de degré a d'un polynôme indéfini non homogène et dont le degré des termes croit sans limite. Cela pourrait d'abord ne pas présenter le caractère de l'homogénéité, et on serait porté à croire qu'une équation qui renferme une pareille expression ne saurait être homogène. Et cependant il n'en

est rien, car elle n'est autre chose que e^ qui est une expression de degré zéro,* comme tous les termes suivant lesquels elle peut être développée.

8. Nous venons de voir un cas où l'indice a d'un radical étant dépendant de l'unité de longueur, l'expression se