CHAPITRE IV

elle le sera quand on y fera

Ce résultat de pur calcul donne lieu à cette remarque géométrique importante, que le même point correspondant à y = <pi, r = r^, serait construit en prenant cf = 9^ db tt, qui donne la direction opposée à celle que donne cfi, et portant la solution négative — /'j, que donnera nécessairement l'équation (2), dans un sens contraire à la direction correspondante à ç^ it: tt.

124. Il y aura deux manières de construire chacun des points du lieu de l'équation (2) ^ Tune en considérant les valeurs positives de r et les portant dans la direction déterminée par la valeur correspondante de (p; l'autre en admettant les valeurs négatives de r et les portant en sens contraire de la direction déterminée par la valeur de 9 qui les a fournies.

On pourra se borner à un seul de ces procédés, et alors, pour avoir tous les points du lieu de l'équation (i), il faudra cjue l'angle cp passe par toutes les valeurs de o à 271. Mais si l'on admet les solutions négatives comme les positives de Téquation (2) pour l'inconnue r, il suffira évidemment cle faire varier (p de o à tt.

Observations sur la proposition précédente.

125. Il ne faut pas oublier que la double construction pour chaque point n'a été démontrée qu'en considérant l'équation polaire telle qu'elle est obtenue immédiatement par la substitution des valeurs de a: et j^ en r et 9, et entendue avec les mêmes restrictions que pourrait comporter l'équation (i).

Si donc on transforme d'une manière quelconque cette équation, il faudra s'assurer si l'on a bien le même résul-

tat en faisant une même substitution à /* et cp dans cette dernière ou dans la transformée.

Il n'y aura aucun , doute à cet égard si F ( x, j) est une fonction entière; les multiplications et les élévations aux puissances seront les seules opérations à exécuter sur les expressions

/•siD(Q — y— g) ^ , rsin(y-4-a]

siD Q sm

et les résultats seront les mêmes quand on remplacera <f et r par des valeurs quelconques, avant ou après qu'on aura exécuté les opérations indiquées par la fonction F.

Mais supposons que, dans F (x,j^), il se trouve un radical du second degré assujetti à être pris positivement, c'està-dire que le résultat numérique du calcul soit précédé du signe ■+-. Si sous ce radical il n'y a que des puissances

paires de x, j^ comme, par exemple, -f- s/^ix*-j- nj* , et que les formules de transformation soient simplement

.X z=z /•ces y, jr = ''sin y, le radical deviendra

^mf^ cos* ff -h .T.r^ sin^ y ,

et restera le même quand on mettra (p 4- tt et — r au lieu de cj) et r.

Or, si on avait fait passer le facteur r' hors du radical, on construirait encore le lieu proposé en écrivant pour le radical

r y/ m cos=* cp -\- ^sin'cp ,

en entendant que r est pris positivement. Mais il est clair que changer cp et r en cj» -h tt et — r ne donnerait plus le même résultat qu'en laissant r* sous le radical 5 et alors il ne serait plus vrai que les points du lieu pussent être con-