Considérons d'abord l'équation de l'ellipse

En prenant pour pôle le foyer dont les coordonnées sont

et Taxe polaire dans le sens des x positifs, l'équation sera {a? — c^ ces' «j> ) /'' -h 2^' cr ces <p — ^* z= o,

et l'on voit que si /• et cp forment une solution de cette équation, — r et cp-f-7r en formeront une autre. Mais le premier membre est décomposable en deux facteurs du premier degré en r, qui, égalés successivement à zéro, donnent pour r les deux valeurs suivantes :

a-hccosç • — a-\-ccos(f

Si Poil considère Tune quelconque des deux, par exemple la première, on voit que si elle est satisfaite par un système de valeurs de r^ et cp, elle ne le sera pas quand on changera cf, en cfi -j- 71, et Ti en — Tj, Mais alors il faut, d'après ce qui a été démontré, que la seconde soit satisfaite, quand on y met pour cp et r les valeurs cf , -f- tt et — r^ : et, en effet, elle devient ainsi

— r, :=r — OU r, = — ; ,

«H-CCOSÇi «-f-ccosç,

ce qui est exact puisque cpi et Tj satisfont à la première. 128. On remarquera que la première équation

a 4- ccos^

donnera toujours pour r des valeurs finies positives, puisque a est plus grand que c , et qu'au contraire la seconde donne toujours r négatif. On pourra donc se borner à la première 5 elle construira le lieu tout entier, en faisant varier cp de o à 27:, puisque nous avons démontré en général qu'on pouvait construire le lieu complet de l'équation en X, y^ en donnant à cp toutes les valeurs de o à 27r, et ne tenant compte que des valeurs positives de K

129. Et de même on pourrait se borner à considérer la seconde équation

rzzz »

a — c cosy

qui ne donne que des valeurs négatives. Cartons les points construits par la première pouvant être construits par les solutions de la seconde, portées en sens contraires, on obtiendra le lieu tout entier en ne faisant usage que de la seconde.