CHAPITRE IV
130. Prenons pour second exemple l'hyperbole ayant pour équation
et prenons d'abord pour pôle le sommet qui a pour coordonnées y = o^x = — « ^ on obtiendra l'équation polaire suivante :
r^[à^ sin'ç — A'cos'^p) 4- 2 a^Vcos<p = o.
Le premier membre est le produit de deux facteurs dont l'un est r, et pour toute valeur de cj> donnerait pour solution r = o ; ce qui devait être, puisque le pôle est sur la courbe. Le théorème qui s'applique à l'ensemble des deux facteurs s'appliquera donc à Taulre facteur seulement, égalé à zérg; et l'on pourra, par conséquent, y admettre ou n'y pas admettre les valeurs négatives ^e r. Dans le premier cas, il faudra faire varier c() de o à tt-, et dans le second, de o à aTT.
La valeur de r que l'on en tire est, en posant a* H- i* = c',
c^cos'cp — à*
et Ton reconnaît bien que si cfi et r^ y satisfont, (fi H- 71 et — Ti y satisferont encore.
Nous allons d'abord la construire en admettant les rayons vecteurs négatifs.
En faisant f = o on trouve r = aa, et r reste positif jusqu'à ce que (p soit parvenu à la valeur dont le cosinus est —
On construira ainsi la branche infinie partant du sommet à droite et située au-dessus de l'axe des x. L'angle cf augmentant, r devient négatif, et, quand il est devenu égal à -9
r est nul, et l'on a construit la branche infinie située audessous de l'axe des x eik gauche du sommet pris pour pôle.
Ij4 ÉTUDE DES COURBES.
En continuant d'augmenter cp, r redevient positif jusqu'à l'angle dont le cosinus est ? etl'on a construit la branche symétrique de la seconde par rapport à Taxe des x.
Enfin, cj> variant depuis cette valeur jusqu'à tt, r redevient négatif et donne la construction de la quatrième branche, symétrique de la première.
131. Si l'on avait rejeté les rayons vecteurs négatifs, la première branche construite aurait été la même 5 mais depuis l'angle dont le cosinus est - jusqu'à -? les rayons vecteurs étant négatifs, on n'aurait construit aucun point. De -jusqu'à l'angle dont le cosinus est 9 on aurait eu
des rayons vecteurs qui auraient construit la branche qui tout à l'heure était la troisième. De cet angle jusqu'à tt les rayons sont négatifs, et l'on n'aura aucun point. Les deux branches au-dessus de l'axe seront donc construites quand ç variera de o à tt : les deux autres branches seront données par les valeurs de ç, de tt à 27r^ et cosy reprenant les mêmes valeurs pour les directions symétriques par rapport à l'axe, ces deux branches seront symétriques des premiers.
132. Considérons maintenant l'équation polaire de la même courbe en prenant pour pôle le foyer dont les coordonnées sont j = o, a: = — sja} -+-&*= — C5 il faudra faire, dans l'équation en x etj^,
x=^ — c-j-rcosy, j=rsin<p,
ce qui donnera
r^[a} — c^cos^ç) -f- 2.b^crco%f^ — é* = o.
Le premier membre est le produit de deux facteurs qui,
