CHAPITRE IV

égalés à zéro, donnent les deux valeurs suivantes pour r,

^ ' — « -i- CCOSf

Dans ce cas aucune de ces deux équations polaires n'est satisfaite par les deux systèmes cp,, r, et cji -|- tt, — Ti ; mais si l'une Test par l'un des deux, l'autre le sera par l'autre, comme cela devait être d'après la démonstration générale du théorème.

Les valeurs négatives données pour r par l'une ou l'autre des équations (i), {2) pourront, comme nous l'avons dît en général, être admises ourejelées; et la discussion sera toujours abrégée en les admettant. Mais il ne suf6ra pas dans le cas actuel de faire varier cp de o à tt dans l'une des deux, par exemple dans (i), comme dans le cas où Tun des sommets était pris pour pôle; et cela tient à ce que l'équation (i) n'est pas satisfaite par les deux systèmes cpi, rj et (fj H- tt, — Ti^ tandis que cette condition était remplie quand le pôle était au sommet.

133. Si l'on construitla courbe au moyen de l'équation (i), en admettant les valeurs positives et négatives de r, on construira les quatre branches en faisant varier cp de o à 27r.

La branche à gauche de Taxe desj^ et au-dessus de Taxe des X sera donnée par les valeurs de © comprises entre

(f =: o, coscj)= , et r sera positif;

La branche à droite de l'axe des j^ et au-dessous de l'axe des Xy par les valeurs suivantes de cf jusqu'à tt, et r sera négatif ;

La branche symétrique de celle-ci, par rapport à l'axe

des a:, par les valeurs suivantes jusqu'à coscp = ; r sera

encore négatif;

iy6 ÉTUDE DES COURBES.

Enfin la branche symétrique de la première, par les valeurs suivantes de cp jusqu*à 2^, et les valeurs de r seront positives.

De sorte que le signe de r est le même pour tous les points de deux branches symétriques par rapport à Taxe des X , comme nous l'avions déjà reconnu précédemment.

autres exemples d^ équations polaires qui ne donnent pas lieu à la double construction,

134. Dans les exemples que nous venons de donner d'équations polaires dont les lieux ne peuvent être construits par un double système de valeurs, il n'entrait que des lignes trigonométriques de l'angle cp : nous allons en considérer d'autres où entre l'angle cp lui-même.

La spirale d'Archimède dont l'équation est r= û -+- èop n'est pas satisfaite quand on change les coordonnées cp et r d'un de ses points en cf H- tt et — /; donc ses points ne peuvent être construits parles deux systèmes de valeurs des coordonnées.

La spirale logarithmique dont l'équation est r = ac^ n'est pas non plus satisfaite quand on change les coordonnées cp et r d'un quelconque de ses points, en cp -+- tt et — r.

On voit, sans qu'il soit besoin de multiplier davantage les exemples, que le théorème que nous avons démontré pour les équations polaires obtenues par la transformation d'une équation, donnée en coordonnées rectilignes, n'a pas lieu pour toutes les équations polaires, et ne doit être appliqué qu'avec beaucoup de circonspection.

135. Contradiction apparente, — Mais cela peut donner lieu à la difficulté suivante. Ne pourrait-on pas penser que toute équation polaire peut provenir d'une équation rectiligne, puisqu'on peut d'abord passer du système polaire à un système rectiligne, et revenir ensuite de ce der-