CHAPITRE IV

nier au premier? Alors Téquacion polaire proposée étant obtenue par la transformation d^une équation en coordonnées rectilignes en une équation en coordonnées polaires, le théorème en question devrait s'y appliquer : et comme cela n'est pas toujours exact, il semble qu'il y ait contradiction entre les propositions établies.

136. Solution de la difficulté. — Dans la démonstration que nous avons donnée du théorème, nous avons supposé que les opérations indiquées dans le premier membre de lequation ^2), n° 123, étaient entendues de la même manière que dans F (x, j) et avec les mêmes restrictions. Il est donc indispensable d'examiner avec soin les conditions des deux transformations successives, opérées en partant d'une équation polaire donnée, pour y revenir après avoir passé par une équation en coordonnées rectilignes.

Comme les idées générales se trouvent dans chaque cas particulier, et s'y reconnaissent plus facilement que dans l'ensemble de tous les cas, pourvu qu'on ait soin de les faire ressortir, et de n'employer les circonstances particulières qu'à leur donner la possibilité de se manifester, nous nous bornerons à considérer les exemples que nous venons de présenter, d'équations polaires qui ne donnent pas lieu à la double construction.

137. Ellipse, — En prenant pour pôle le foyer de droite, nous avons trouvé l'équation

(i] rz=z ou r(fl -h ccos ç) = ^*,

qui construit tous les points du lieu, et ne donne que des valeurs positives pour r.

Passons maintenant à des coordonnées rectangles, en prenant pour plus de simplicité le pôle pour origine, l'axe

des X pour axe polaire, et posant par conséquent

j:i=rcosç, j'=rsin(p, d'où

si x^ -^ y'^

rT=i sj x^ -\- y^ et cosç =

en' substituant dans (i) nous obtiendrons

(2) a ^ x"^ -\- y^ -\- ex — b'^=zQ,

• Arrivé à ce point, on peut rendre l'équation rationnelle,

ou la laisser telle qu'elle est 5 examinons ces deux manières

de procéder.

I** En faisant disparaître le radical on introduit les solutions correspondantes au signe — du radical, et qui seraient précisément celles que donnerait l'équation

ou — «r -f- cr cos 9 = 6*,

— a -\- c cos (p

qui conduit à

— a ^x^ + /^ -f- ex — ^' = o.

On voit donc que l'équation rationnelle en x elj ne renferme pas seulement les solutions de l'équation polaire, mais encore d'autres solutions telles, que le retour aux coordonnées polaires donnera une équation jouissant de la propriété de la double construction,, parce qu'elle renfermera, outre l'équation polaire proposée, une seconde équation polaire. Ce n'est donc pas la proposée qui jouit de la propriété en question.

2° Supposons que l'on conserve la forme de l'équation ( 2 ) et qu'on repasse aux coordonnées polaires, on aura

(3) ayr*cos*(p-!-r*sin'<p H- cr cos ç — 6^ = 0,