CHAPITRE IV

équation dont le premier membre est bien une fonction de rcosO et rsin0, qui semble^ par conséquent, ne pas devoir changer quand on change cf et /' en © -h 7: et — r, et en même temps n'être autre chose que le premier membre de l'équation proposée

-f- cr cosç» — b^ zzzOy

ce qui conduirait à cette conséquence fausse que si cfi et r^ sont une solution de cette dernière, cj), -f- tu et — r^ en formeraient une autre.

L'erreur est bien facile à apercevoir. En effet le radical dans (2) est assujetti à représenter r et non — r, sans quoi (i) et (2) ne coïncideraient pas. Si donc on remplace r par — /', dans (3), le radical devra aussi être remplacé par — r, 5 et par conséquent si (3) est satisfaite par y = cfi et r = Ti, elle ne le sera pas par y = çf, -|- tt et r = — rj .

On voit donc comment les restrictions qui se trouvent dans la fonction F (^,jk) quand il s'agit de l'équation (2), changent les conditions qui sont nécessaires à la démonstration du théorème. Ici, en effet, le radical dans (3) est assujetti à être pris avec un signe qui dépend de la valeur substituée, tandis que la démonstration générale de la double construction supposait expressément que la forme de la fonction F restait la même, quelques valeurs qu'on donnât aux variables.

138. Hyperbole. — En prenant le foyer de gauche pour pôle, nous avons trouvé deux valeurs de r, dont l'ensemble présente la double construction, mais aucune des deux ne la présente isolément. Elles construisent l'une et l'autre la courbe entière en faisant varier cp de o à 27r, et portant les valeurs négatives de r dans le sens inverse. Bornons-nous

l8o ÉTUDE DES COURBES.

à considérer là suivante :

(i) r = 9 ou ar -\- cr c0SfD=z bh

^ a -h C COScj;

les rayons vecteurs positifs construiront la partie de la courbe située à gauche de Taxe des y^ les rayons vecteurs négatifs, celle située à droite.

Il s'agit d'examiner ce qui arrive quand on passe de cette équation à l'équation en coordonnées rectilignes F (.r, j^) = o en prenant pour plus de simplicité l'origine au pôle, puis qu'on repasse de cette dernière à l'équation polaire F (r cos cp, r sincf ) = o ^ et d'expliquer pourquoi cette dernière, qui semble présenter la double construction, ne jouit cependant pas de cette propriété, si elle coïncide réellement avec Téquation (i), eftque l'on n'ait pas introduit de solutions étrangères.

L'équation (i) donne pour la première transformation

a ^ x^ -\- j^ -\- ex — b^=o,

et pour qu'elle représente exactement (i), il faut que

^ï^ -hj^ représente toujours r et non — r.

Revenons maintenant aux coordonnées polaires. L'équation désignée généralement par F (rcosc{>, rsincp) = o sera

(2) a^ r^cos^9 -hr^sin'cp -f- crcostf — b^ = o

avfec cette restriction que le radical y/r* sera remplacé par r et non par — r, sans quoi cette équation ne coïnciderait pas avec (i) et les conclusions, quelles qu'elles fussent, ne s'appliqueraient pas à la proposée. Mais cette restriction sur les valeurs du radical fait que la fonction F [x^ j) change de forme suivant les substitutions, puisque le terme

a sjx^ H-JK* doit changer de signe avec r. Les conditions delà double construction ne sont donc plus remplies, et il n'y a aucune raison pour qu'elle soit admissible.