CHAPITRE IV. l8l

Des raisonnements analogues se feraient pour la partie de l'hyperbole correspondante aux valeurs négatives de r que donne l'équation (i) ; et il n'y a lieu à aucune difficulté.

Exemples adéquations oà entre l'angle lui-même,

139. Dans les exemples précédents, les équations ne renfermaient que des lignes trigonométriques de l'angle cp ; supposons maintenant que Tangle lui-même y entre, et considérons l'équation

dont le premier membre est par exemple une fonction rationnelle et entière quelconque de /' et cf, et dont on construit les solutions négatives en sens contraire du sens direct. Cette équation ne donne pas lieu à la double construction pour tous ses points : car les deux équations F (ti, Çt ) = o et F ( — Tj, Çi -h tt) = o déterminent en général un nombre fini de valeurs pour cpi et rj. Si par exemple on considère r = a<p -f- S, ces deux équations /•, z=za<fi -h by —r^=ia (çi + tt) + ^,

conduiront à la valeur unique

b TT

qui donnera

Cela posé, prenons le pôle pour origine et transformons l'équation (i), au moyen des formules

.r = r cos^, y z=: r sin ç, qui donnent

cos , - ?

sin

sj x'

l82 ÉTUDE DES COURBES.

cette dernière notation indiquant l'arc qui a pour co-

sinus -, 5 et pour sinus --~--^:r- .

Nous obtiendrons ainsi pour équation du même lieu en coordonnées rectangles

(2) F( vZ-^^-f-jS arc

^sm

sjx' + y

et il ne faut pas oublier que dans les termes provenant de r,

le radical sjx^ -^J sera positif ou négatif, suivant que la valeur de r donnée par l'équation sera elle-même positive ou négative 5 mais que dans les termes provenant de y,

^x*-hj* doit être pris en valeur absolue, x ç^i y étant les coordonnées positives ou négatives du point que l'on considère : car c'est ce que nécessitent les formules

.r :=. sjx"^ -\- y^ . ces Y, J = ^^^ + f^ • sin ©.

Le premier membre de l'équation (2) est donc assujetti à quelque restriction, puisque le radical qui y entre ne doit pas être partout pris avec le même signe. La démonstration faite dans l'hypothèse où une même expression représente partout la même chose ne subsiste donc plus nécessairement, et ses conclusions seraient généralement erronées. C'est ce que nous allons reconnaître en essayant de l'appliquer à l'équation (2).

Si, en effet, on veut transformer cette équation en coordonnées polaires, au moyen des formules

X =3 r ces q>, J = A* sin y,

on obtient d'abord