CHAPITRE IV

OÙ il n'entre que les produits rcoscf, r sincp, qui restent bien les mêmes quand on remplace cf et r, soit parcfi,ri, soit par cf , H- TT et — t\ . Mais il est facile de voir qu'il n'en est pas de même de la fonction F.

En effet, d'après les observations précédentes, le rap-

port — doit toujours être pris égal à -h i 5

y'r' cos^cp -!- H sin*(p

par suite la substitution de cpi et f\ dans (3) donnera

( ces (ces©,)' arc ^

( sm (sin y, )^

et la substitution de cfi -f-7r et — r, donnerait

(~n, arc I ''''*< ■~''''^^')\ \ " (sin( — sinij),)/

qui n'est nullement identique à l'expression précédente 5 et

par conséquent si cp, etrj satisfont à (3), cpi -h tt et — r^

n'y satisferont généralement pas. Il faudrait, pour avoir

des résultats identiques, conserver au radical le même

signe, là où il représente r, qui en change; €t le faire

, 1 • 1 1 • rcoscp rsinep , ..

changer de signe dans les expressions - - ? , ou il

doit toujours être pris positivement.

L'erreur qui faisait croire à la possibilité de la double construction provenait donc de ce qu'on ne tenait pas compte des restrictions auxquelles était assujettie l'équation (2) en X et j.

Et l'on voit comment, en en tenant soigneusement compte, les deux substitutions conduisent,- après la double transformation, à deux expressions identiques à

r(r,, (p,) et F(— r,, ç, -h tt),

que Ton obtiendrait d'après l'équation proposée F(r, y), qui, comme nous l'avons fait voir d'abord, ne sont pas généralement nulles en même temps.

l84 ÉTtJDE DES COURBES.

On remarquera facilement que le passage aux coordonnées rectangles introduit une infinité d'arcs, différant du premier d'un multiple quelconque de a?:. Ce sont ceux que l'on trouverait en faisant usage de l'équation (i) et faisant tourner indéfiniment le rayon vecteur, comme cela doit être. Si à l'un de ces angles, c{>i par exemple, correspond une valeur de r,, les autres valeurs de cp comprises dans la formule cpi ± awTT, donneraient pour rdes valeurs différentes de Tj que l'on pourrait déterminer soit par Téquation (i), soit par l'équation (2). Appliquons ces considérations générales à quelques cas particuliers.

140. Spirale d!Archimède, — L'équation r=a(]p de cette spirale devient en passant aux coordonnées polaires

cos

y—, ; 1 sl^"' -I- y^

\Jx^ -^ y^ z=i a arc {

sin

v/jc' + 7'

Il n'y aurait qu'à répéter ce qui vient d'être dit pour une fonction entière quelconque de r et cp, dans laquelle rentre le premier membre de r — a(j) = o.