CHAPITRE PREMIER

pourront être réduits à des monômes, comme nous TavoDs indiqué précédemment, et la ligne représentée parja fraction ainsi transformée se construira par une suite de quatrièmes proportionnelles.

2° Si la formule de Tinconmie renferme des radicaux du second degré, et que les quantités qui y sont soumises soient des expressions rationnelles quelconques, on pourra commencer par les réduire, comme nous venons de Tindiquer, à des monôipes entiers ou fractionnaires, suivant que le numérateur y sera de degré plus élevé ou moins élevé que le dénominateur. Dans le premier cas, on pourra, par une suite de quatrièmes proportionnelles, réduire la quantité sous le radical à un produit de facteurs linéaires; et dans le second à Funité divisée par un produit. Ce cas, en renversant le radical, rentre dans le premier^ qu^il suffit par conséquent d'examiner.

S'il n'y a que deux facteurs, la racine sera leur moyenne proportionnelle et se construira facilement.

S'il y en a un nombre plus grand que deux, on les groupera deux à deux, et une suite de moyennes proportionnelles réduira le radical au produit d'autant de lignes qu'il y aura de ces groupes, si les facteurs sont en nombre pair. Et si ce nombre était impair, il resterait l'indication de la racine du dernier;, ce facteur se combinera avec quelque autre d'après la forme de l'expression donnée qui, d'après le principe de Thomogénéité, doit toujours être du premier degré, puisqu'elle est la valeur d'une ligne.

En agissant ainsi pour tous les radicaux du second degré qui entrent dans l'expression de la ligne à construire, on finira par la rendre rationnelle, et alors on procédera comme dans le premier cas.

Il est évident que ce procédé pourra s'appliquer à plusieurs racines carrées accumulées les unes sur les autres.

Mais si l'expression de la ligne inconnue renfermait des

^4 SCIENCE DE l'étendue.

radicaux, non réductibles au second degré, ou encore si Finconnue est la racine d^une équation qu'on ne sait pas résoudre, les procédés que nous venons d^indfquer ne peuvent plus s'appliquer; et ce n'est que plus lard que nous pourrons nous- occuper de cette question.

QUE TOUS LES PROBLÈMES PEUVENT ÊTRE RAMENÉS A LA. DÉTERMIMATION DES LONGUEURS DE CERTAINES DROITES.

13. Un problème de Géométrie ne peut avoir pour objet que la détermination de points ou de grandeurs d'espèce quelconque, comme des lignes, des angles, des figures planes ou des solides.

La détermination des angles peut être ramenée à celle de lignes droites ; car en les faisant entrer comme éléments de triangles, il suffira de connaître les côtés de ces triangles, ou seulement leurs rapports, pour que les angles en question soient eux-mêmes connus. '

Une figure plane quelconque qui ne renferme pas de lignes courbes, se ramène évidemment à la connaissance de certaines droites, ou d'angles, lesquels se ramènent à des droijies. Et il en serait de même d'un solide qui ne renfermerait dans sa construction aucune surface courbe.

Quant à la détermination de la position d'un point, il est facile de voir comment elle se ramène à celle de la longueur de certaines droites.

En effet, si ce point doit être dans un plan donné et sur une ligne connue, il suffit de connaître sa distance à un point connu de cette ligne; et si l'on ne connaît aucune ligne du plan qui Je renferme, sa position sera déterminée si Ton connaît ses distances à deux points donnés, ou à deux lignes données, ou encore à un point et une ligne connus. Enfin il peut être détermiilé par sa distance à un point du plan et par l'angle que fait avec une droite con-