CENTRE ET DIAMÈTRES CONJUGUÉS

162. Si l'on remarque que (x — m)' aura des valeurs égales pour x — m = ±oL ou x = m± (x^ quel que soit «, et que par suite le radical et les longueurs à porter à partir du diamètre seront les mêmes, on voit que si Ton prend CF= CP, d'où QO = Q'0, les quatre points M, M' N, N' correspondants de la courbe seront les sommets d'un parallélogramme dont deux côtés seront parallèles à Taxe desj^ et les deux autres au diamètre. Ses diagonales passeront par le point constant O, où elles seront coupées en deux parties égales. L'ellipse jouit donc de cette propriété que si on joint un quelconque de ses points au point O, et quon prolonge cette ligne d'une quantité égale en sens contraire^ on a encore un point du lieu.

Relativement à toute courbe, un point qui jouît de cette propriété se nomme centre.

L'ellipse a donc un centre^ il est sur le diamètre^ ses coordonnées a:,j", ont pour valeurs Xi = m et ri = — ou, en remplaçant m par sa valeur,

ine — bfl ncd — be

b* — ^ac b^ — ^ac

Il est facile de voir que l'ellipse ne peut avoir qu'un seul centre. Car si elle en avait deux, la corde qui passerait par ces deux points devrait les avoir l'un et l'autre pour milieu 5 ce qui est absurde.

On démontre en géométrie une proposition très-générale à ce sujet. Elle consiste en ce qu'une courbe qui a deux centres en a une infinité situés à des distances égales à la droite qui les joint 5 et qu'elle peut être coupée en une infinité de points par les droites parallèles à la ligne des centres. Une peut donc y avoir qu'un seul centre, au plus,

pour les courbes qui ne peuvent avoir qu*ua nombre fini de points en ligne droite : ce qui est le cas de toutes les courbes du second degré.

Le diamètre des cordes parallèles à Taxe des j^ passant par le centre de TelUpse, et la direction de cet axe étant arbitraire, tous les diamètres de l'ellipse passent par son centre.

163. Une autre propriété très-importante résulte encore de ce que le point O est le centre du parallélogramme MM' N' N : c'est que les milieux des côtés MN, M' N' seront situés sur la ligne indéfinie CO, parallèle à Taxe des y.

Cette droite sera donc le lieu des milieux des cordes parallèles au diamètre UY, et par conséquent le diamètre de ces cordes.

Les deux diamètres UV, COC jouissent donc de cette propriété remarquable, que chacun d'eux est le diamètre des cordes parallèles à l'autre : c'est ce qu'on appelle un système de diamètres conjugués .

Et comme Taxe des y a une direction arbitraire dans le plan, on peut énoncer celte 'propriété générale :

Tout diamètre de V ellipse a un conjugué,

164?. Deuxième cas. — Passons au cas de i* — ^ac ^ o. L'équation (3) devient, en faisant b^ — 4 ^^ = ^*>

2,ae — hd

o^ — ^ac

bx -^

bx-{-d ^ A I ^ d^ —iaf

2« 2a \ ^ ' b^ — ^ac

Il faut maintenant distinguer deux cas dépendant du signe de la somme des termes qui suivent [x — m)^.