CHAPITRE VI. an

Supposons-la d'abord positive, et posons

, d^ — Laf

nous aurons

bx -\- d . k ,'

et il est évident que toute valeur de x donnera des valeurs réelles pour j et par conséquent des points du lieu.

La droite v = sera encore le diamètre des cordes

•^ la

parallèles à Taxe des 7; mais la courbe ne le rencontrera pas, parce que le radical ne saurait devenir nul. Sa valeur

minimum correspond à x = tu et est égale à — • Les deux

points ainsi construits sont donc les plus rapprochés du diamètre *, et si par chacun d'eux on mène une parallèle à ce diamètre, il n'y aura aucun point du lieu entre ces deux lignes. Et comme le radical croît sans limite à mesure que X s'éloigne de m, dans l'un ou l'autre sens, le lieu est composé de quatre branches indéfinies dont les points s'éloignent indéfiniment du diamètre, en même temps qu'ils s'avancent indéfiniment dans le sens des x positifs ou négatifs. Les deux branches d'un même côté du diamètre forment un lieu continu, et le lieu total se compose de deux parties indéfinies dans deux sens, et entièrement séparées l'une de l'autre.

Cette courbe se nomme hyperbole.

Voyons maintenant ce qui arriverait si l'on avait , d^ — ^af ,

0' — ^ac '

L'équation du lieu deviendrait

bx -^ d . /

Y z=i db — dix — iiiY — //•

Il faut alors, pour que r soit réel, que Ton ail

Le radical est nul pour x — m = zhp] ainsi la courbe coupe son diamètre aux deux points correspondants à x = mit:p. Entre ces deux valeurs le radical serait imaginaire, et par conséquent il n'y a aucun point du lieu entre les deux parallèles à l'axe des y correspondantes a ces abscisses. Mais si x s'éloigne indéfiniment de l'une et de l'autre dans l'un et l'autre sens, le radical est toujours réel et va en croissant indéfiniment, de sorte que le lieu complet de l'équation a encore quatre branches indéfinies, appartenant deux à deux à deux parties continues entièrement séparées l'une de l'autre : on l'appelle encore Arperbole.

Enfin, si Ton avait — m* -f- 7— -z — = o, les deux va-

o^ — qac

leurs dey seraient du premier degré et présenteraient deux

droites se coupant sur le diamètre.

Gela posé, nous allons continuer la discussion sans faire

de distinction entre les deux cas, et nous écrirons comme

il suit la valeur dey

/ / X bx -h d . k n ;

q pouvant être positif ou négatif.

1 65 . Centre et diamètres conjugués .

Les propriétés de l'hyperbole se reconnaîtront identiquement comme pour l'ellipse. Les deux valeurs .r = mdt a, quel que soit a, donneront une même valeur au radical^ et les quatre points du lieu qui en résulteront, seront les sommets d'un parallélogramme dont le centre aura pour abscisse m, et dont les côtés seront parallèles, les uns à Taxe des j^, les autres au diamètre.