CHAPITRE VI. ai
Il résultera de là que si Ton joint un point quelconque du lieu au point constant du diamètre, ayant m pour abscisse et qu'on prolonge cette ligne d*une quantité égale, on obtiendra encore un point du lieu. Ce point constant du diamètre est donc centre de la courbe.
Les coordonnées .r, j* ont pour valeurs, comme dans le cas de l'ellipse,
2 ne — bd 1 cd — be
b^ — ^€ir ' b^ — ^ac
166. Les côtés du parallélogramme qui sont parallèles au diamètre, ont évidemment leurs milieux sur la parallèle à l'axe desj^ menée par le centre.
Celte parallèle est donc le diamètre des cordes parallèles au premier.
Ces deux diamètres sont donc tels, que chacun d'eux est le diamètre des cordes parallèles à l'autre, et par conséquent ils sont conjugués.
D'après ce que nous avons reconnu, l'un des deux seulement rencontre l'hyperbole.
167. Jtsjmptotes. — Si dans l'équation (4) on supprimait le ternie ^, on aurait
, ^ . bjo -^ d . k(x — m)
la la
équation qui représente deux droites qui coupent le diamètre au point dont l'abscisse est m, c'est-à-dire au centre de l'hyperbole. Ces deux droites jouissent de cette propriété remarquable, que les quatre branches de l'hyperbole s'en approchent indéfiniment sans jamais les atteindre.
Pour le démontrer, considérons dans (4) et (5) les parties affectées du signe zh, qui expriment ce que l'on doit porter de part et d'autre du diamètre. La différence de leurs
es est -r-^9 et par conséquent constante. Mais en don-
carres
2l4 ÉTUDE DES COUKBES.
nant à x des valeurs indéfiniment croissantes, positives ou négatives, les quantités qu'il faut porter au-dessus et au-dessous du diamètre croissent sans limite-, donc leur différence tend vers zéro, puisqu'elle est égale à la différence constante de leurs carrés, divisée par leur somme indéfiniment croissante.
D'après cela, il est clair que les points des quatre branches de la courbe s'approcheront indéfiniment des quatre prolongements indéfinis de ces droites, à mesure que les valeurs absolues des abscisses croîtront de plus en plus des deux côtés de l'origine.
Toute droite qui jouit de la propriété que la distance des points d'une branche de courbe infinie, à celle droite, ont pour limite zéro, à mesure que l'on s'avance indéfiniment sur cette branche, se nomme asymptote de cette branche. L'hyperbole a donc deux asymptotes, et chacune d'elles l'est dans les deux sens. Elles se coupent au centre de la courbe.
168. Troisième cas, — Soil, enfin, b^ — 4^^=o- La discussion sera fort différente dans ce cas, parce que le polynôme sous le radical n'est plus du second degré.
La valeur de j^ se réduit à
bx -{- d . I / — —r-z î ;:; 7 — 7-
y :=:^ ziz — ^i(bd — 7.ae)x-\-d^ — 4^/'
ou
Pour quej^ soit réel, il faut que i<^ — ^aeetx-\ — , r
soient de même signe, de sorte qu'à partir de la valeur
X = ,, { r qui annule le second facteur, et donne le
2(M — nae) ^
