CHAPITRE VII. a
que dans (i), mais les trois autres renferment a et S] on peut donc, en général, eu faire disparaître deux à volonté, et nous choisirons ceux qui renferment x' ouj\ Il suffira pour cela de poser
d'où l'on tire
ia^ -h ùa, -+-r/z=:o,
lae. — hd b^ — [^ac
icd — bc
ac
On voit d'abord que cela n'est possible que si Ton n'a pas è* — ^ac =:o. Les termes du premier degré ne peuvent donc disparaître que dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole^ et alors l'équation (2) se réduit à
(5) ay^ -f- bx'f -f- ry» -4- P m o,
Pétant le résultat de la substitution des valeurs (4) dans le premier membre de (i).
On peut reconnaître dans les formules (4) les valeurs des coordonnées du centre, mais la forme de V équation (5) suffit pour prouver que V origine des coordonnées x\ j' est centre de la courbe ^ c'est-à-dire que toute corde qui y passe y est coupée en deux parties égales.
Soit, en effet, j' = mar' l'équation d'une droite quelconque passant par l'origine; les abscisses des points où elle coupe la courbe seront données par l'équation
[arn^ 4- ^/w 4- c) ^'* 4- P = o,
dans laquelle x' n'entre qu'au carré, puisque tous les termes en x'^ j' dans (5 ) étaient du second degré. Les deux valeurs de x* sont donc égales et de signe contraire, quand elles sont réelles, et les deux points de rencontre sont à
égale dislance de rorigine qui, par conséquent, est centre de la courbe.
171 . Réciproquement. — Pour qu'un point du plan soit centre, il faut qu'en le prenant pour origine l'équation ne renferme plus de termes du premier degré, car sans cela l'équation qui donnerait les abscisses des points de rencontre de la courbe avec une droite quelconque menée par ce point, renfermerait x'* et a:', rorigine ne serait donc pas le milieu de la corde, et par conséquent ne serait pas centre \ il n'y a donc quun seul centre pour V ellipse et r hyperhole^ puisqu'il n'y a qu'une seule solution pour les équations (4) lorsqu'on n'a pas i* — ^ac =• o.
172. Lorsque l'on a è* — \ac = o, les équations (3) sont incompatibles, à moins que l'on n'ait ^ae — bd=o^ et par suite icd — bez=Oj auquel cas elles sont indéterminées. Mais nous avons reconnu que l'équation représentait alors deux droites parallèles au diamètre, et non plus une parabole. Donc, lorsque b^ — 4 ^^ = o» îl ^'j a P^is de centre ou il y en a une infinité. Il n'y en a pas quand le lieu est une parabole; et il y en a une infinité quand le lieu consiste en deux droites parallèles.
173. La résolution des équations (3) correspond à l'intersection des deux lieux géométriques représentés par chacune de ces équations, considérée isolément, en y regardant a et 6 comme des coordonnées variables. Ces équations étant du premier degré représentent des lignes droites. Si l'on remplace a et 6 par les lettres ordinaires -t, j^, la première droite aura pour équation
hx -k- d %aY -\- bx -{- d:=zo ou r=: î
c'est le diamètre des cordes parallèles à Taxe desj^.
