CHAPITRE VII

La seconde by -i- 2cx -h e= o donne

by -h e ^cx -\- e

x = ou r = r :

2rt b

ce serait le diamètre des cordes parallèles à Taxe des x^ et le centre serait à la rencontre de ces deux diamètres.

Us seraient parallèles si l'on avait — == -7- ou fc* = 4^^^ * 2« à

et c'est le cas de la parabole. 11 n'y a pas rencontre des deux droites (3) à moins que Ton n'ait ^lae — fcrf = o, auquel cas les deux équations (3) se confondent en une seule. Les deux diamètres se réduisent alors à un seul, dont tous les points satisfont, et sont par conséquent des centres du lieu, comme cela est évident, puisque le lieu consiste alors en deux droites parallèles.

174. Le changement d'origine introduisant deux indéterminées, permet toujours de faire disparaître deux termes de l'équation complète; et lorsqu'on ne peut faire disparaître les deux du premier degré, on peut faire disparaître l'un d'eux et le terme indépendant des variables. Si c'est Tordonnée qu'on veut faire disparaître, on aura pour déterminer les coordonnées de la nouvelle origine, les deux équations

j 2fl6 4- ôa -f f/=rO, Eliminant S, on obtient f

Dans le cas où b^ — ^ac est di fièrent de zéro, cette équation a deux racines, réelles ou imaginaires. Si i* — ^ac=.o^ elle se réduit au premier degré, et il y a toujours une solution réelle, mais unique.

On peut remarquer que les solutions communes aux deux

équations (6) sont les coordonnées des points communs au diamètre des cordes parallèles à Taxe des j-, et à la courbe donnée. Dans le cas de Fhyperbole seulement, ce diamètre peut ne pas couper la courbe, et les racines de l'équation en u seraient imaginaires. Il ne serait pas possible alors de faire disparaître le terme en y et le terme indépendant, par un simple déplacement de l'origine, sans changer la direction des axes. Il pourrait en être de même pour la disparition du terme en j:; et même il pourrait arriver qu'aucun des deux ne put disparaître conjointement avec le terme indépendant, en conservant aux axes la même direction.

Dans le cas de la parabole, a est réel et fini, puisque l'bypotbèse hd — 2ae= o, qui le rendrait infini, n'a lieu que lorsque l'équation représente deux droites parallèles, et non la courbe que nous avons nommée parabole. On peut donc toujours faire disparaître de l'équation de la parabole un des termes du premier degré et le terme indépendant.

CHÀlVGEMEiyT DE DIRECTION DES AXES DE COORDOKIfÉES .

17S. Application aux courbes à centre.

L'équation des courbes à centre a été réduite, en y transportant l'origine, à la forme

(i) «j' -h bxy -f- cx^ 4- P z= o ,

et l'on peut supposer, sans restreindre la généralité de la discussion, que les axes sont rectangulaires. Car, s'ils avaient été obliques, on aurait pu passer à des axes rectangulaires, et l'équation eût été toujours du second degré. Or, nous avons pris la forme la plus générale pour Téquation proposée; elle peut donc être supposée celle que l'on aurait obtenue en passant aux axes rectangulaires. L'équation (i), rapportée à des axes parallèles à ces derniers, peut donc être regardée comme rapportée à des axes rectangulaires.