CHAPITRE VII

Cela posé, les formules, pour passer d^axes rectangulaires X, Y a des axes quelconques X', Y^, faisant avec Taxe des a: les angles a, a', sont, comme nous Tavons vu,

x =r x' cosa -h y cosa', y =z x' sina -h^' sina'.

Substituant dans (i), et posant

a sin'a' -+- h sin a' cosa' -+- c cos^a' ~: A,

2âsinasiDa'+ ^ (sina cosa' + sina' cosa) -h 2ccosa C0Sa'=rB,

a sin^a H- b sina cosa -h c cos'a = C, l'équation (i) devient ( 2) Ay -h B^y -h C.r'2 -f- P = o ,

et l'on peut faire disparaître deux de ses termes, puisque l'on a deux indéterminées a, a' qui ne sont assujetties qu^à la condition de ne pas mettre les deux axes X', Y' en ligne droite.

Considérons les diverses combinaisons auxquelles cela peut donner lieu.

i** En posant B = o, ou a entre a et a' Téquaiion

(3) 2fl tanga tanga'-h 6(tanga -h tanga') H- 2r = o,

et Tun des deux angles a, et! peut être pris arbitrairement.

L'équation (i) se réduit à

et l'on voit que chacun des deux axes est le diamètre des cordes parallèles à l'autre; ils forment, par conséquent, un système de diamètres conjugués, et Féquation (3) est, par conséquent, la relation qui doit exister entre les directions de deux droites pour qu'elles soient parallèles à un système quelconque de diamètres conjugués.

Parmi ces syslcmes, le plus remarquable serait celui où les diamètres seraient rectangulaires. Pour le trouver, il suffit de joindre à Téquation (3) la suivante

I 4- tanga tanga' = o ;

éliminant entre elles tang a', on a

tang'-a H- 2 — 7 — tanga — 1= o»

et à cause de la symétrie des équations par rapport à tanga et tanga', les deux valeurs de tanga seront celles de tanga et tanga', et les deux systèmes d'axes se confondront.

Ces deux valeurs sont toujours réelles, puisque le dernier terme est négatif 5 et comme il est — i, les deux directions fournies par les valeurs de tanga sont rectangulaires.

Ces diamètres conjugués rectangulaires se nomment les axes de la courbe, ellipse ou hyperbole. Et, en général, on nomme axe d'une courbe quelconque tout diamètre perpendiculaire à ses cordes. Les points de rencontre des axes de l'ellipse ou de Thyperbole avec ces courbes, en sont les sommets,

2^ Posons maintenant

A = o, C = o, ou

^i tangua -f- ô tanga -h crrr o, '

a tangua' -f- b tanga'-+- c = oj

tanga et tanga' sont donc les racines d'une même équation : elles seront réelles et inégales si i* — 4^^>o? c'est-à-dire dans le cas de l'hyperbole seulement. On prendra l'une de ces racines pour tanga, et l'autre pour tanga', puisque les axes X', Y' doivent avoir des directions différentes. Il n'existe donc qu'un seul système d'axes qui réduise l'équation de l'hyperbole à la forme