CHAPITRE VII. S

ei Toa reconnaît immédiatement que ces axes sont asymptotes de la courbe.

176. Réciproquement^ il n'y a que cette forme d'équation qui puisse faire que les deux axes soient asymptotes.

Considérons, en effet, Téquation générale

ay"^ -h hxy -\- cx^ -\- df -{- ex -}-/'= o.

Pour que Taxe des x soit asymptote, il faut que, x croissant indéfiniment, y tende vers zéro. Or, si l'on divise tous les termes par x*, et qu'on fasse croître x indéGniment, j^^ ne pourra pas tendre vers zéro, car tous les termes tendant vers zéro, excepté c, Téquation serait impossible. Si donc l'axe des x est asymptote, il faut que c soit nul \ ce qui réduit l'équation à

ay^ -h bxy -j- dy 4- ex -\-f^= o.

Divisant par x et le faisant croître indéfiniment, on voit quej^ ne pourra pas tendre vers zéro si l'on n'a pas e = o. Il faut donc que Téquation ne renferme pas le terme en x*, ni le terme en x, pour que l'axe des x soit asymptote.

De même pour que l'axe àe^j soit asymptote, il faut que les termes en j^* et enj n'entrent pas dans l'équation^ qui, par conséquent, ne peut renfermer que le rectangle des variables et le terme indépendant. Et comme nous avons vu qu'il n'y avait qu'un seul système d'axes qui pût réduire l'équation générale à la forme (5), il s'ensuit que l'hyperbole ne peut avoir que deux asymptotes.

177. L'équation (4) renferme l'ellipse et l'hyperbole, et on les distingue par les signes de A et C ; et l'on voit, d'après le caractère général propre à l'une et à l'autre, que si A et C sont de même signe, la courbe sera une ellipse \ et qu'elle sera une hyperbole s'ils sont de signes contraires.

Cas de V ellipse, — A et C étant de même signe, il faut

que P soit de signe contraire, ou l'équation n'aurait pas de solutions réelles et ne représenterait aucun lieu. Cherchant les points de rencontre de la courbe avec ses axes, et représentant par a et h les longueurs des demi-axes des x et desy, on aura

Tirant de là A et C, l'équation (4) deviendra

Telle est l'équation générale des ellipses rapportées à leurs axes, tant pour la direction que pour la grandeur.

Cas de Vhjperbole. — Un seul des axes rencontrera la courbe, puisque A et C sont de signes contraires. Supposons que ce soit Taxe dés x, et appelons 2 a sa longueur, on aura

P Mais — -— sera négatif et pourra être représenté par — i*.

L'équation ( 4 ) deviendra alors

Ces équations des courbes à centre sont celles que l'on choisit ordinairement, comme étant les plus commodes pour la résolution de presque toutes les questions qui se rapportent à ces courbes.

11 est certaines questions cependant pour lesquelles il est plus avantageux de prendre pour origine l'un des deux sommets. En choisissant pour l'ellipse le sommet qui est à gauche du centre sur l'axe des x^ on trouve l'équation

a^y'^-^b^x^ — iab^x=.o ou j'= x^ -\ .r?