CHAPITRE VU
et pour l'hyperbole, en prenant le sommet à droite du centre,
a«jr« — 3*4?' — 2,ab^x:=.o ou y^-=z-^x-A r--^»
de sorte que les deux courbes peuvent être représentées à la fois par une équation de la forme
jr^ ■=. mx^ -I- nx ,
m étant négatif dans le cas de Tellipse, et positif dans le cas dç l'hyperbole.
178. Changement de direction des axes dans le cas de la parabole.
Nous ayons vu que le changement d*origine ne pouvai t, dans ce cas, conduire à rapporter la courbe à un point aussi remarquable que dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole. On pourrait bien faire disparaître un terme du premier degré et le terme indépendant 5 l'origine se trouverait d\or& sur la courbe. Mais on n'aperçoit pas facilement quel serait le point le plus avantageux à choisir ; et il vaut mieux réserver cette question, et commencer à simplifier l'équation générale, au moyen du changement de direction des axes. Soit donc l'équation
ay'^ -+- bxy -+- cx^ -{^dy -hex 4-^ = o,
et supposons les axes rectangulaires, ce qui ne restreint nullement la discussion, comme nous l'avons déjà fait voir. En substituant h xelj les valeurs suivantes
xz=zx' cos a -4- ^' ces a', y z=z x' sina ^ y' sin a',
et galant i zéro le coefficient dèx^j'y nous retrouverons l'équation
• •"'■,■'' 2 a tang« tanga' -f b (tanga -f- tanga^ ) -|- 2ic = o.
Comme elle renferme deux îndëterminées, il y a une infinité de manières d'y satisfaire. Mais si Ton veut que le nouveau système soit rectangulaire, elle devient comme pré-
eédemment •
c — a tangua -f- 2 — 7 — taoga — 1=0,
et ses deux racines correspondent, l'une à l'axe des jc', et l'autre à l'axe des j^
Mais l'équation qui existe entre les trois coefficients des termes du second degré, dans le cas de la parabole, exige qu'en même temps que le coefficient de j:y sera nul, celui de a:'* ou celui de jr'* le soit aussi •, et cela dépendra de celle des deux valeurs de tang a qu'on prendra pour déterminer Taxe des à;\
On aura aussi
ou
yj^-Dy -4-EV 4-F'irr o,
équations qui ne diflGerent que par le changement de x' en^'. Le système d'axes qui réduit l'équation de la parabole à l'une ou l'autre de ces formes est unique; et comme il est indifférent de prendre l'un ou l'autre pour axe des x\ nous nous bornerons à la forme suivante :
X' -f- D/ -h Ejc' -4- F = o.
Nous pouvons maintenant déplacer l'origine eu posant
X rr: .T. -f- nij
m et n étant les coordonnées de la nouvelle origine, et l'équation devient
y""" + (2/1 4- D) r'^ -4- Ea?'^ + /i' -h D/i -+- E;w -f-.F = o;
