ab b^ — I 6 H- flc oL-^hc n
, m o, "=■ iw, n= o, 1=: — »
(4) ^1 — fl» ' — «' ï—^' I — a* 2
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour quMl y ait un rapport constant entre les distances d'un point quelconque de la courbe donnée au point a, ê et à la droite ay^ -i- fex -i- c = o. Le problème est donc ramené identiquement à trouver les valeurs de a, 6, a. A, c qui satisfont à ces cinq équations.
La première exige que l'on ait ah = o, et, par conséquent, a = o ou i = o. Mais la dernière supposition est
a32 ÉTUDE DES COURBES.
inadmissible, car la seconde des équalions (4) deviendrait
Or, elle est impossible si m = 05 si m-<]o, la valeur de a*
serait i-\ ^ et par conséquent négative, puisque m est
plus petit que i en valeur absolue. Enfin, si on am^o, les équations (4) donnent, par la supposition de i = o,
La dernière deviendrait^ çn y substituant les valeurs de a et 6,
et la valeur de c serait imaginaire.
On ne peut donc faire h = o, et il faut par conséquent que Ton ait a = o ; les autres équations (4) donnent alors
b^ = 1 "^^ m, 61=0, a -h ^c =:-^5 cç^zsc^
Là première donne
b = ^i -h niy
et nous entendrons que ce radical renferme implicitement le double signe ] mais nous considérerons d'abord le signe + . La seconde apprend que les points cherchés sont sur Taxe des x. Les deux dernières deviennent
et donnent
a (i dz ^i -h m ) = —5
CHÀPITKB VIII. a33
d'où
2(i=hv^i -h /w) ^ 2W
et, par snite, en tirant c de l'équation du premier degré, on obtiendra
im
les signes supérieurs se correspondant dans les valeurs de a et c, ainsi que les signes inférieurs.
Les valeurs de a, 6 déterminent le point cherché, et la droite correspondante aura pour équation
ôx -f- c = o,
ou
/î(\/i -4-iwqzi)
im ^i -h /w
le rapport ^' -f- i' est A ou ^i + m .
On reconnaît facilement que le changement de signe
de ^i •+- yw ne feraix que changer l'une dans Fautre les deux valeurs de a, ainsi que les deux valeurs correspondantes de X données par la formule (5). On a donc toutes
les solutions de la question en se bornant à prendre v^iH-m Bivec le signe
Les points remarquables que nous venons de déterminer se nomment foyers^ leur milieu ayant pour abscisse
est le centre, les droites correspondantes se nom-
ment directrices de la courbe.
182. Ces formules s*appliquent aux trois courbes*, mais la résolution des équations (4) est beaucoup plus simple dans le cas de la parabole, pour laquelle m = o. En effet.
elles deviennent alors
La première donnera a= o, puisque b ==i± i\ les. au ires donneront, en se bornant d'abord au signe + pour è.
d'où
On trouverait les mêmes valeurs pour « et c en prenant b =. — I .
Il n'y a donc dans le cas de la parabole qu'un seul point^ situé sur l'axe de la courbe, et une seide droite correspondante, ayant pour équation
Au reste, ce calcul particulier n'est pas nécessaire, et les formules générales en donneront les résultats, en chercbant les limites vers lesquelles elles tendent, quand on fait tendre m vers zéro.
183. La position des foyers et des directrices sont. rapportées ordinairement au centre et à la grandeur des axes dans les courbes à centre : rien n'est plus facile que de les déduire des formules précédentes.
En effet, si l'on nomme 2 a, 26 les longueurs des axes de l'ellipse, on aura
l'abscisse du centre sera
