CHAPITRE IX

second degré, mais qu'on ne peut s'en donner arbîtraîrement un plus grand nombre. Il est évident d'ailleurs que les cinq équations qui en résultent peuvent offrir des impossibilités ou de l'indétermination; comme il serait possible aussi qu'une courbe du second degré passât par plus de cinq points donnés si les équations dé condition étaient satisfaites.

188. Il est des points dont la connaissance fournit deux équations entre les coefficients, et équivaut par conséquent à celle de deux points de la courbe. Ce sont ceux dont les coordonnées peuvent s'exprimer généralement au moyen des coefficients de Péquation. En effet, quand on donne les coordonnées d'un point de ce genre, en les égalant à leur expression générale, on a deux équations entre les coefficients inconnus.

Si, par exemple, on donne les coordonnées du centre,

, . , . . lae — hd ncd — he on les égalera respectivement à -7- -, — et -7- -, — 5 et

l'on aura deux équations entre les coefficients a, 6, c, d^ e.

Les foyers sont dans le même cas, car ils sont déterminés quand l'équation de la courbe est donnée; leurs coordonnées sont donc exprimables au moyen des coefficients de l'équation générale, et même, quand on n'en connaîtrait pas les formules, on peut affirmer que la connaissance d'un foyer équivaut à celle de deux points de la courbe, et ne permet plus par conséquent d'assujettir la courbe à plus de trois conditions, exprimées chacune par une équation entre les coefficients.

Les deux foyers équivaudraient donc à quatre équations, et Ton pourrait encore se donner un point de la courbe, mais pas plus. Et l'on reconnaît, en effet, qu'un point suffira d'après la propriété, que la somme ou la différence des distances des points de la courbe aux deux foyers est constante.

a4o ÉTUDE DES COURBES.

Mais il faut bien s'assurer si les points que Ton se donne sont indépendants les uns des autres, et s'ils n'ont pas des liaisons néce3saires qui ne permettent pas de les prendre tous arbitrairement. Car il en résulterait des impossibilités si ces liaisons n'avaient pas lieu, et, au contraire, une diminution dans le nombre des équations si ces liaisons existent. Par exemple, si l'on donnait les deux foyers et le centre d'une ellipse, il n'en résulterait pas six équations distinctes entre les coefficients de l'équation générale. En effet, le centre étant au milieu de la droite qui joint les foyers, ses coordonnées sont les demi -sommes de celles des foyers. Si on ne les donne pas telles, les données sont incompatibles; si, au contraire, elles sont données égales aux demi-sommes de celles qu'on donne pour les foyers, les deux équations fournies pour le centre seront des conséquences des autres, et l'on n'aura réellement que q^tre équations distinctes entre les coefficients inconnus.

189. Nous ne saurions énumérer tous les points qui équivalent à deux conditions simples, c'est-à-dire fournissant une seule équation. Il y a, en effet, une infinité de manières de définir des points dont les coordonnées sont déterminées quand on connaît l'équation de la courbe, que l'on sache ou non en trouver l'expression. Non-seulement le centre, les foyers, les sommets d'une courbe sont déterminés par son équation, mais tout point lié d'une manière choisie arbitrairement à deux de ces points sera aussi déterminé au moyen des coefficients de cettQ équation vpar exemple, un point assujetti à se trouver à des distances données d'un foyer et du centre, à partager dans un rapport donné la droite qui joindrait un foyer avec une extrémité du petit axe, etc., etc.

Mais si l'on donnait un point assujetti à se trouver à u^e distance donnée d'un foyer, il est clair qu'il n 'équivaudrait