CHAPITRE IX

qu'à une condition simple^ puisque l'on aurait à exprimer seulement que la distance de ce point connu à celui dont les coordonnées sont des fonctions connues des coefficients, est égale à une ligne donnée, etc., etc.

Nous croyons inutile d'en dire davantage sur ce sujet.

190. Passons maintenant aux conditions résultant de droites données, au lieu de points.

Il y a des droites dont la connaissance conduit à deux équations entre les coefficients, et d'autres qui n^en fournissent qu'une seule.

Si, d'après sa définition, une droite est déterminée par l'équation de la courbe, les deux coefficients de l'équation de cette droite sont des fonctions de ceux de l'équation de la courbe ; et par conséquent, si une pareille droite est donnée, il en résulte deux équations entre ces coefficients ; elle équivaut donc à deux conditions simples.

Si, au contraire, l'équation de cette droite n'est pas déterminée par celle de la courbe, la connaissance de cette droite n'entraînera pas deux équations entre les coefficients. Si, par exemple, on dodne une droite sur laquelle doit se trouver un point remarquable, comme le centre, un foyer, un sommet, etc., il n'en résulte qu'une équation entre les coefficients*, et on l'obtiendra en écrivant que les coordonnées de ce point, dont on connaît l'expression en fonction des coefficients, satisfont à Inéquation de la droite donnée. Une tangente donnée équivaut encore à une condition unique, parce que la condition d'être tangente s'exprime comme on l'a fait voir pour le cercle, et comme nous le verrons pour toute courbe, par une seule équation entre les coefficients.

Et il faut encore s'assurer si les diverses données son|. indépendantes les unes des autres. Car, si elles doivent avoir des liaisons nécessaires, et que les valeurs particu-

a4^ ÉTUDE DES COURBES.

lières proposées n'y satisfassent pas, le problème est ion* possible : et si les équations qui expriment ces liaisons sont satisfaites identiquement par les données, elles seront des conséquences des autres équations, et on n'en aura plus entre les coefficients, un nombre égal à la somme des nombres correspondants à chaque ligne ou point donnés.

Ainsi, par exemple, une asymptote donnée équivaut à deux conditions simples, parce que l'on peut déterminer les équations des asymptotes en fonction des coefficients de Téquation. Il en es^t de même du centre : et cependant une asymptote et le centre n'équivalent pas ensemble à quatre conditions, parce que le centre de l'hyperbole est situé sur chaque asymptote. Si donc le point donné n'était pas sur la droite donnée, le problème serait impossible. Mais s'il y est, on ne pourra tirer des données que trois équations entre les coefficients de Téquation de la courbe. On en obtiendra d'abord deux en égalant les coefficients donnés de Téquation de la droite, aux expressions générales des coefficients en fonction de ceux de la courbe. Si ensuite on égale les coordonnées du point donné aux expressions générales de celles du centre, l'une de ces deux nouvelles équations sera une conséquence des trois autres, puisque l'ordonnée du centre est une conséquence nécessaire de l'abscisse, et de l'équation de l'asymptote. Et toute hyperbole ayant cette asymptote et l'abscisse donnée du centre, aura le centre donné; de sorte que trois équations expriment toutes les conditions données, et il en faudrait encore deux autres pour que l'hyperbole fut déterminée.

Ce peu de mots suffit pour lever toutes les difficultés qui pourraient se présenter sur ce sujet: et il est évident que ces considérations sont applicables à toutes les courbes, et ne se fondent en rien sur le degré de l'équation.