CONIQUES

191 . Les difiérents lieux représentés par Féquati on générale du second degré, jouissent de la propriété remarquable de pouvoir être obtenus en coupant par un plan un cône droit à base circulaire \ et par là nous entendons la surface engendrée par une droite, indéfinie dans les deux sens, qui tourne autour d'une droite fixe qu'elle coupe en un point fixe qu'on nomme le centre de la surface, en faisant avec la droite fixe, ou Taxe, un angle constant. *

Pour le démontrer nous allons cherclier l'équation de la ligne d'intersection d'une surface conique quelconque par un plan.

Si, par l'axe du cône nous menons un plan perpendiculaire au plan sécant, il le coupera suivant une droite par rapport à laquelle la courbe cherchée sera symétrique, et que nous prendrons pour axe des x.

Soit ABX cette ligne ; OATJ, OBS les deux génératrices

du cône, situées dans le plan que nous avons mené par

a44 ÉTUDE DES COURBES.

FaxeOV. Posons

VOA = a, OAB = 6.

Le point A, que nous choisirons pour origine, est Tintersection du plan donné avec Tune des deux génëratries OU, OS; et il y en aura toujours une qui sera coupée : mais il peut arriver trois cas. La seconde génératrice peut être coupée du côté OS, situé sur la même nappe du cône que OA; ou du côté OS^ situé dans la nappe opposée; et enfin elle peut être parallèle à la trace du plan donné.

Considérons d'abord le premier de ces cas : l'angle S sera moindre quelesupplémentde2ûr,etlaligned'intcrsectionAB sera dans Tangle SAU. Posons AB = aa, OA = i, et menons un plan quelconque QR perpendiculaire k l'axe OV; les points suivant lesquels il coupera la courbe seront symétriques par rapport à AB et se projetteront en P ; leur ordonnée sera commune au cercle dont le diamètre est QR ; et par conséquent, en la désignant par j^, on aura

Il reste à exprimer ces deux segments en fonction de l'x, AP.

On trouvera, par le triangle PAR,

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