CHAPITRE X

AU reste, qu'on les sépare ou qu'on les réunisse, on voit que l'équation (i) représente une ellipse, l'équation (2) une parabole, et Téquation (3) une hyperbole, dont Taxe des X coupe la courbe.

193. Il reste à voir si Téquation (1), généralisée comme nous l'avons dit, peut coïncider avec la suivante qui renferme toutes les courbes du second degré, savoir

(4) y''*:=imx -\- nx^y

dans laquelle m peut toujours être considéré comme positif, en prenant les x positifs dans un sens convenable; et n peut être négatif, nul ou positif. Le premier cas correspond à l'ellipse, le second à la parabole, et le troisième à l'hyporbole.

En identifiant l'équation (4) ^ l'équation (i), prise avec la généralité que nous avons établie, on obtient

b sin6 tanga 1= w , - sinS tanga = — n.

Si l'angle a est donné, on ne peut disposer que de h et S, et il faut qu'on puisse trouver des valeurs de ces deux indéterminées qui satisfassent à ces deux équations. Mais il est d'abord nécessaire d'y substituer à a sa valeur en fonction de&

et S, qui est

^sinaa

la =

sio {2a -+- S)

et, d'après le signe implicite de a, il faut regarder celui de sin (2^; + S) comme on le fait dans les formules de la trigonométrie, de sorte que les deux équations auxquelles & et S doivent satisfaire, sont

, . ^ sin (2a -t- S) sinS

6sm6 tan£'a=: /w, — -— ^ = — n.

La dernière, ne renfermant que S, en donnera la valeur^

2i8 ÉTUDE DES COURBES.

et la première donnera toujours une valeur positive correspondante pour b. Il suffit donc d'examiner la seconde, et de voir si elle peut toujours être satisfaite par une valeur de o.

On voit d'abord que, dans le cas de la parabole, où l'on a2a + 6 = 7retn = o, la seconde ëquation est satisfaite d'elle-même, et la première, qui devient 2&sin'a = /n, détermine la distance b d'après /n, quel que soit l'angle donné a. Il suit de là que toute parabole peut être obtenue par l'intersection d'un cône quelconque de révolution par un plan.

Il ne reste donc à examiner que le cas où n n'est pas nul.

En transformant le produit des deux sinus, l'équation devient

ces 2a — cos(2a -+- 26) := — 2/2COS*a,

d'où l'on tire facilement

(5) ces (2a -t- 26) = (2/1 -f- 2) ces* a — I.

La condition pour que l'arc 2 a 4- 26 soit réel est que son cosinus soit compris entre — i et -h i .

1° Dans le cas de l'ellipse n est négatif; et on peut toujours le supposer inférieur à i en valeur absolue; il suffit pour cela de prendre pour axe des x le grand arc de l'ellipse représentée par (4) : an -f- 2 est donc positif, et le second membre de (5) est ^ — i. D'ailleurs 2/1+2 sera plus petit que 2; (2» 4- 2) cos*a sera donc, à plus forte raison, <C2^ et le second membre sera plus petit que i. On trouvera donc une valeur entre o et tt pour l'arc 2 a -h 2 6, d'où on tirera une valeur pour 6 qui sera moindre que le supplément de l'angle 2 a et donnera une section elliptique. La valeur de b s'ensuivra et l'on aura toujours une solution.

Donc, toute ellipse peut être obtenue par V intersection d^un cône quelconque de réy^olution par un plan.

2** Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une hyper-