CHAPITRE XI. 25 I

qu'on fasse croître a indéfiniment, y' s'approchera indéfiniment de ^px^ et il en résultera cette conséquence :

Â partir du sommet fixe, la portion de l'ellipse qui se projettera dans une étendue finie, aussi grande qu'on voudra, de l'axe des or, s'approchera indéfiniment de la parabole ayant pour équation

puisque la différence des carrés des ordonnées finies des deux courbes tendra vers zéro.

. Mais si l'on considérait un point dont Yx croîtrait indéfiniment avecfl, la différence des carrés des ordonnées correspondantes pourrait croître indéfiniment^ et comme les ordonnées croîtraient aussi indéfiniment, il faut nécessairement calculer la différence même de ces deux ordonnées. Elle est égale à la différence de leurs carrés, divisée par la somme de leurs premières puissances, c'est-à-dire à

px"^ px ^

^ 2,px -h i / IXpx — y^ 2/? -h i / ip — —

Or, pour que cette expression toujours réelle, puisque X est plus petit que 2^^ tende vers zéro, il est le

nécessaire et suffisant que - tende vers zéro, puisque

dénominateur reste fini : il faut donc qu'on ait a:"* = «^,

pétant une quantité quelconque tendant vers zéro quand a croît indéfiniment; et, par conséquent, que x soit le pro-

duit de a'^ par une quantité tendant vers zéro.

Il suit delà que si l'on considère une abscisse x variant proportionnellement à une puissance m de a, il faut, pour que le point correspondant de l'ellipse s'approche indéfini-

252 ÉTUDE DES COUBBES.

ment de la parabole, que l'on ait m<^-^« Si ron avait

m ^ - il s'en éloignerait indéfiniment 5 et pour m = -^ la

différence des ordonnées tendrait vers une quantité finie.

Les conséquences seraient analogues si l'angle des axes avait une valeur déterminée autre qu'un angle droit.

i97. Limite d'une ellipse dont un sommet et le foyer voisin restent Jîxes.

L'équation de l'ellipse rapportée à ce sommet comme origine et à son grand axe comme axe des x sera

a^ y^ -\- b^ j;"^ — nab^x z= o; et si le foyer reste à une distance d du sommet, on aura

a — ^a^— b^z=:d d'où b^=: lad — d^y

et l'équation de l'ellipse variable sera

a^jr^ -f- (2ad — d^)x^ — ia{2ad — d^)x:= o

id^ /nd d^

r^=^dx X— ) j:';

d'où l'on conclut d'abord que si x reste fini,^* tend vers la limite 4 ^-^9 quand a croît indéfiniment : et, par conséquent, la partie de Vellipse, à partir du som,met fixe, qui se projette dans une étendue jinie de Vaxe des x, quelque grande quelle soit^ tend indéfiniment vers la courbe dont V équation estjr*=z^dx.

Cette courbe limite est une parabole ayant même sommet et même foyer.

i98. Mais si l'on considérait des valeurs de x croissant indéfiniment avec a, les ordonnées correspondantes de l'ellipse et de la parabole croîtront de même, et il ne sera pas nécessaire que la différence de leurs carrés tende vers

cBAPiTRE XI. a 53

zéro pour que la différence des ordonnées elles-mêmes y tende. Il ne suffit plus alors de considérer les termes qui suivent 4 ^«s: dans Téquation de l'ellipse 5 il faut calculer la différence même des ordonnées des deux courbes, qui peut se mettre sous la forme

\d^ id d^\

et comme l'ordonnée de l'ellipse est moindre que celle de la

parabole, le dénominateur est égal à ^ é^clx multiplié par un nombre compris entre i et 2.

En divisant les deux termes de la fraction par sfx^ le dénominateur restera fini, et il ne s'agira plus que de savoir si le numérateur deviendra nul, fini ou infini. Ce numérateur est

,, Jx 7.d ,- , x\jx

id} 1 xJx —d' -^

et son second terme est celui dont Tordre de grandeur est le plus élevé, c'est-à-dire que les rapports des deux autres à celui-là tendent vers zéro*, il est donc nécessaire et suffi-

sant que le second terme, ou - tende vers zéro pour qu'il

en soit de même de la différence des ordonnées. On arrive ainsi aux mêmes conclusions que dans le cas précédent, et il est inutile de les reproduire.

199. Ellipses semblables dont les axes croissent indéfiniment.

Supposons toujours que les ellipses aient un sommet commun, et l'axe correspondant dans la même direction. Leur équation générale sera encore

a54 ÉTUDE DES COURBES.

et dans le cas actuel - est égal à une constante m, ce qui réduit Téquation à la forme

d'où Ton tire

jr :=^m ^ lax —

et Ton voit que quelque petite valeur fixe que l'on donne à a:,y croîtra indéfiniment avec a, et par conséquent l'ellipse variable ne s'approche indéfiniment d'aucune courbe, et s'élèvera au-dessus de toutes celles que l'on pourrait concevoir partant de l'origine. Mais il est facile de reconnaître qu'elle peut s'approcher indéfiniment de l'axe des jr dans une étendue aussi grande que l'on voudra. En effet, l'équation résolue par rapport à x est

y in-

En laissant de côlé la valeur de x qui correspond au signe -h, et croit indéfiniment avec a, nous nous bornerons à considérer

et l'on voit que, quelque grand que soit y^ x tend vers zéro à mesure que a croit indéfiniment. Ce qui prouve, comme nous l'avions annoncé, que les points de l'ellipse variable s'approchent indéfiniment de la tangente au sommet, dans une étendue aussi grande que l'on voudra, mais qui se projette sur l'axe dans une étendue infiniment petite, relativement à la longueur de cet axe.

On voit par là comment il faut entendre cette propo-