BD

la

ad'=iAb' — bd',

on aura

AD = y/.'- ' "^^^, ^ ou AD = y/c'-

Mais en développant le carré de a* 4- c* — i* on a les mêmes termes qu'en développant celui de J* — a* — c* ; les deux cas seront donc représentés par une seule ^expression définitive^ et nous nous bornerons à suivre le calcul d'après Tune des formes, la première, par exemple.

On aura ainsi

Et transformant la différence des deux carrés dans le produit de la somme des racines par leur différence,

S=:j\/{'2/Jc + ^2 H- c=^ — b^}{2ac — rt' — c» H- b^),

et par la même considération

S = jsl{a -\- b -k- c){a -\- c ^ b){b -\- a ^ c)[b -k- c — a).

Il est bon de faire ici une remarque sur la décomposition du dernier facteur lac — a^ — c* H- i*. Il est la différence des deux carrés £* et a^ -\- c^ — ^ac\ or, ce dernier peut être celui de a — c ou de c — a, suivant que a est plus

28 SCIElCE DE l'étendue.

grand ou plus petit que c ; mais comme on doit ajouter et retrancher successivement de b la racine du second carré, les deux résultats seront les mêmes quant à la forme; seulement chacun d'eux exprimera dans un cas la somme des racines, et dans l'autre cas leur différence.

On peut donner à la valeur de S une forme plus simple en introduisant le périmètre ap du triangle, c'est-à-dire en posant a + b-\-c = np. On trouvera ainsi

Cette formule était connue des anciens géomètres.

15. Trouv'er V expression du rayon d*un cercle tan^ gent à trois droites données.

Ce cercle peut être inscrit au triangle formé par ces troisdroites, pu tangent aux prolongements de ses côtés. Cela donne lieu, en général^ à quatre cercles différents.

En considérant celui qui est dans l'intérieur du triangle, son rayon est la hauteur commune des trois triangles qui composent la surface du triangle -, d'où l'on déduit, en employant les mêmes dénominations que précédemment, et désignant le rayon par R,

R^ l = S = >Jp[p^a)[p — b){p-c),

et par suite

Oa trouvera semblablement pour les trois autres cercles

— oMn—h)