CHAPITRE II

D'où se déduit cette relation remarquable entre les quatre rayons

RR'R"R'" =/?(/> - a)[p — b)(p - c) =r S^

Remarque, — Comme exercice sur les limites, il est bon de chercher ce que deviennent ces quatre formules, quand deux côtés du triangle, a, b par exemple, croissent indéfi-' nimenl, le troisième côté c restant constant, ainsi que l'angle adjacent B. On voit facilement que dans la figure limite, le côté AC est remplacé par la parallèle menée à BC par A 5 les deux cercles tangents extérieurement à AC, BC ne sont plus possibles; et les deux autres sont tangents aux deux parallèles et à AB, des deux éôtés de cette dernière ligne.

Mais ce qui est intéressant, c'est de voir comment ces diverses circonstances seront exprimées par les formules.

Considérons d'abord l'expression du rayon d'un des deux cercles R', R'' qui doivent disparaître. Ils renferment l'un

et l'autre le rapport de ;? — a h p — ft ou de à

? direct ou renverse.

Or, lorsque le point C [fig* 2) s'éloigne indéfiniment de B, si l'on prend toujours CI= CA, les angles à la base du triangle isocèle CAI tendent vers des angles droits, puisque

l'angle C tend vers zéro., La limite du point I est donc le pied D de la perpendiculaire abaissée de A sur la droite immobile BC et a — ft a pour limite BD : la limite de

' r est donc =rr-« Mais les deux autres facteurs »,

p — b tf-+-BD , '^'

Ao SCIEIICE DE l'ÉTEHDUE.

/; — (; croissant indëfinimént, il en est de même de R' et R^^; et cY*Ht eu Hc pr(^*seiitant sous la forme de l'infini que les deux formules apprennent que les deux cercles correspondants ne sont plus possibles.

Passons aux deux autres expressions qui donnentRet R^'^

, ,. . , , , r—BD c-f-BD Les limites de /? — a ei p — o étant et ?

la limite de leur produit sera

D'ailleurs, le rapport de p k p — c a pour limite Tunité, puiïtquo c est constant et que p croit indéfiniment.

Les liniiles de R et de R' seront donc — 9 ou la moitié

doJa distance des deux parallèles, comme il avait été facile

dt> le pi^voîr.

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SHÙt>ul ABC {j!g^ i)\^ triangle, O le centre du cercle ciriHVU»i'rîU H «uu ra)*un« Menons par un des sommets le diawèuv AIK l\mr ttxmvcr une iTUlioii entre AD et les coiés 4«i K c du irUn^^lt^^ ou leiuai'^iuerad'abor^l qu en joisn^iani 6D