CHAPITRE XII

certaine limite déterminée, qu'elles n'atteindront jamais, si on fait suivre aux positions successives du second point, une loi qui ne lui permette pas de coïncider jamais avec M; comme, par exemple., si l'on passait d*une sécante à l'autre, en prenant toujours le point milieu de l'arc MM'; ou encore le point de la courbe dont la projection sur un axe fixe serait le milieu de la projection de MM'.

Cette direction limite mérite une attention particulière, et oflFre un intérêt véritable dans l'étude théorique des courbes, et même dans leur application à la pratique. Et, en effet, en restant dans la généralité, la direction variable finira toujours par marcher dans le même sens vers sa limite, et alors l'arc infiniment petit sera constamment compris entre ces deux droites, dont l'angle a pour limite zéro.

Quand cet angle sera devenu assez petit pour que les instruments les plus parfaiis ne puissent faire apercevoir de différence entre les directions de ses côtés, elles seront pour nous comme si elles se confondaient, ainsi que celles qui joindraient le point M à des points quelconques de l'arc qui est compris entre les extrêmes. On pourrait donc, au point de vue d'une pratique très-précise, dire que le mouvement du point est dirigé à partir de M suivant la droite limite. Mais dans une théorie rigoureuse on ne confond jamais l'arc indéfiniment décroissant, avec sa corde ou une portion de la droite limite : on ne dit pas que cette dernière est la direction suivant laquelle l'arc est décrit, quelque petit qu'il soit; mais on dit qu'elle est la direction du moui^ement du point qui la décrit, lorsqu'il passe en M, ou la direction de la courbe elle-même en ce point.

Cette droite remarquable se nomme la tangente à la courbe.

203. Aucune droite partant du point de contact, ne peut commencer par entrer dans la portion du plan qui est com-

a58 ÉTUDE DES COURBES.

prise entre la tangente et la courbe. Car cette droite fixe faisant un angle avec la tangente^ serait nécessairement uiie position de la sécante variable, dont Tangle avec la tangente peut devenir moindre que tout angle donné. Or, Tare partant de M est toujours compris entre la tangente et la droite supposée : et, par conséquent, cette dernière n'est pas entre Tare et la tangente.

'Cette propriété de la tangente a quelquefois été prise comme définition générale.

204. Les anciens géomètres envis*ageaient autrement les tangentes. Ils les ont considérées d'abord pour le cercle et les définissaient par la propriété de n'avoir qu'un point commun avec la courbe. Cependant, il faut ajouter qu'Euclide démontre dans ses éléments que, par le point de contact, il est impossible de mener une droite entre la tangente et le cercle.

Quand ils ont considéré d'autres courbes que le cercle, ils n'ont pas donné de définitions spéciales pour leurs tangentes; ils semblent avoir pris pour caractère général de ces lignes, qu*elles ne pénètrent pas dans l'intérieur des courbes.

Mais, qu'est-ce que l'intérieur de la parabole, de l'hyperbole, et de toute courbe non fermée?

Et même pour des courbes fermées qui auraient des sinuosités, il y a des tangentes qui pénètrent dans l'intérieur, d^autres qui n'y pénètrent pas. Il était donc bien nécessaire de donner une définition plus précise du contact.

Il n'aurait même pas suffi d'introduire la condition qu*à partir du point donné les points de la courbe pris dans les deux sens, commencent par se trouver d'un même côté de la droite. Car, dans beaucoup de cas, des droites satisfaisant à cette condition ne présenteraient nullement le caractère que l'on attache au contact. La définition que

CBAPITRE XII. 269

nous avons donnée et à laquelle on s'est arrêté depuis Descartes, n'offre aucun de ces inconvénients.

LA DÉTERMINATION DE LA TAHGEIITE SE RAMENE A CELLE DE LA LIMITE DU RAPPORT DE DEUX INFINIMENT PETITS.

â(fô. La corde qui joint le point de contact au point 'de la courbe qui s'en rapproche infiniment, étant infiniment petite, peut, de bien des manières, être considérée comme appartenant à des triangles infiniment petits. Or, dans tout triangle, les angles sont déterminés par les rapports des côtés, et Ton conçoit par là que Fangle de la sécante avec une direction connue peut dépendre des rapports des côtés de ces triangles ; d'où il suit que la direction delà tangente dépendra de limites de rapports d'infiniment petits. C'est ce que nous allons examiner avec détail, dans divers systèmes de coordonnées.

Coordonnées rectif ignés, — Soient AX, AY (Jiff* 4^)? deux axes quelconques auxquels la courbe est rapportée^

M le point où on veut lui mener une tangente, x ely ses

coordonnées; M' un point de la courbe, infiniment voisin

de M; S le point où la sécante MM' coupe AX.

La direction de la sécante est déterminée par le rapport

BIP dç M'I à MI, ou par son égal -^^7 ou encore par la ligneSP,

puisque MF est Yy donné du point M. D'où il suit que la

limite de la direction de la sécante, ou celle de la tangente,

est déterminée par la limite du rapport des infiniment

^6o ÉTUDE DES COURBES.

petits, M'I, MI qui sont les accroissement» correspondants de X et Y^ quand on passe du point M à un point infiniment voisin pris sur la courbe.

Lorsque cette limite sera connue, la tangente se construira facilement, soit en prenant à partir de M une longueur quelconque sur une parallèle à AX et menant par son extrémité une parallèle à AY, dont le rapport avec la première' soit la limite trouvée; soit en prenant une longueur PR, telle qiie PM ait avec elle ce même rapport.

Si au lieu de construire la tangente , on veut calculer Fangle a qu'elle fait avec l'axe des x^ connaissant l'expres-

sion de la limite du rapport -rrr » ^^ désignera par m cette

limite et l'on aura, en appelant B l'angle des axes,

sîn ot -, ^ msinÔ

= /w, d ou tanga

expression qui se réduit à m quand l'angle des axes est, droit.

206. Coordonnées polaires. — Soit M (Jig» 43) le point où l'on veut mener la tangente, M' un point infini-

Fig. 43.

ment voisin, pris sur la courbe. La sécante sera déterminée si on connaît l'angle AMS; et la tangente le $era par la limite de cet angle. C'est cette limite qui sera l'objet de notre recherche. En décrivant du pôle A comme centre un