CHAPITRE XII

point correspondant de la cycloïde, et O le centre du cercle.

Pour avoir un point de la cycloïde qui soit Infiniment voisin de M, on prendra un arc AN infiniment petit sur le cercle, et AN' égal A AN sur la droite fixe. Le point N, par un déplacement infiniment petit du cercle, deviendra le point de contact en N', et il s'agit de déterminer la position correspondante du point générateur M. Or, on pourra amener le cercle dans cette position en le faisant d'abord tourner autour du point O immobile, jusqu'à ce que N arrive en A, puis faisant mouvoir tout le système parallèlement a la droite fixe d'une quantité égale à AN'.

Dans le premier mouvement, M vient en M', en prenant lare MM' = NA: et dans le second mouvement M' décrit une droite M'M" parallèle à XY, et égale à AN', et par conséquent à l'arc MM'. M'' est donc un point de la cycloïde, et il faut trouver la limite de la direction de la sécante MM'' quand AN tend vers zéro.

Or, si l'on joint MM', on formera un triangle MM'M% dont l'angle M' aura pour limite l'angle de la tangente MT' au cercle avec la parallèle MV à XY ; et le rapport des deux côtés qui comprennent cet angle a pour limite i, puisque l'arc MM' est égal à M' M", et que le côté MM' du triangle est la corde de cet arc. Il suit de là que la limite du rapport des sinus des deux angles M, M" du triangle est i^ il faut donc que les limites de ces angles soient égales^ puisqu'elles ne peuvent être supplémentaires, vu que le troisième angle est fini.

De cette égalité, et ae ce que l'angle M" est égal à M"MV, et que la limite de la direction MM' est celle de la tangente MT' au cercle, il résulte que la limite de la sécante, ou la tangente à la cycloïde, partage l'angle T'MV en deux parties égales ; et, par conséquent, passe à l'extrémité B du diamètre mené par A . La normale est par suite la ligne MA.