AE 2^AE

et comme a. AE est le double de la surface du triangle, on

aura

abc

17. Expression des diagonales d^un quadrilatère in-scrîty en fonction de ses côtés.

Soient

Pour qu'un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle, il est nécessaire que la somme de deux angles opposés, par exemple A et C [fig» 4)? soit égale à deux droits. Il suffit donc d'exprimer que le prolongement de DA fait avec AB un

Fig. 4.

angle égal à C. C'est de cette condition que doivent résulter les relations^qui pourront servir à déterminer les valeurs de X et y. Voyons quelles conséquences résultent de cette condition :

Si du point B on abaisse BH, BI perpendiculaires sur

32 SCIENCE DE l'étendue.

CD, DA, les triangles BHC, BAI seront semblables et donneront

Al n

ÏÏC~T

Or, AI et HC peuvent s'exprimer au moyen des trois côtés des triangles ABD, CBD^ et Ton obtiendra ainsi une équation où entrera la ligne inconnue DB on y. Le problème sera donc résolu, puisque x s'obtiendra semblablemenl, «t pourra d'ailleurs se déduire dej par de simples changements de lettres.

Les valeurs de AI et CH seront, en observant que si Tangle C est aigu, A sera obtus,

CH = — — —, Al= y—'

La proportion précédente deviendra ainsi

bc(j^ — a'— d') = ad[b^ + c' — j»),

ad{b^ 4- c2) 4- bc[a'' A- d'] (ab + cd){ac -4- bd) ad-\- bc ad-\- bc

Pour déduire x* àe y^ il faut y changer chacun des côtés û, b^ c, d dans celui qui le suit immédiatement, puisqu'en recommençant en partant de B, ce qu'on a fait en partant de A, on aura, pour obtenir la diagonale CA, les mêmes calculs à faire que pour BD, avec celte seule différence que chaque côté sera remplacé par celui qui le suit, en les rangeant circulairement dans l'ordre a, 6, c, e/. On aura donc

^ (bc -^ da][ bd -^ ca]

ba -f cd

et les valeurs des diagonales seront

/{bc -had)(bd-hac) /{ai

~\ ab-\-cd ' ^""V""

b -{'Cd){ac -4- bd)

JC Z=\ / r— ^ : ^5 r = % / ■ ; ;

ad -^ OC