CHAPITRE. XII. a^I

216. Dernier exemple. On donne deux points A, B (fiS' 49) ^^ w'*^ droite indéfinie XY. Deux angles de grandeurs constantes ont leurs sommets en A et B, et deux

Fig- 49-

de leurs côtés se rencontrent en un même point JeXY-, 51 Von suppose que ce point se déplace d'une manière continue^ le point de rencontre des deux autres côtés décrira une courbe, à laquelle on propose de mener la tangente.

Soit M un point quelconque de la courbe correspondant au point de rencontre N des deux côtés AN, BN des angles donnés NAM, NBM. Nous regarderons les longueurs AN, BN, AM, BM comme connues, ainsi que tous les angles qui en dépendent, parce que toutes ces grandeurs sont déterminées par celle de CN.

Le point N passant à une position infiniment voisine N', le point correspondant M' de la courbe sera infiniment voisin de M, et il s'agit de déterminer la limite de la direction de la sécante MM'. Comme dans quelques-uns des problèmes précédents, la question revient à trouver les limites des angles du quadrilatère MIM'H, et du rapport des deux côtés contigus MH, MI.

Or, les angles H et I tendent évidemment vers celui que

a^a ÉTUDE DES COURBES.

forme un des côtés MA, MB avec le prolongement de Faiitre; leurs limites sont donc connues, et il ne reste plus

MH

qu'à connaître la limite du rapport —=■ •

Remarquons d'abord qiie, d'après les conditions de la question, les angles M'AM, M'BM seront respectivement égaux à a et 6. On aura alors

d'où

MH sin a

MI MB

sin 6

MA sin H

smi

MH

MA

sin a sin

MI

MB

sine sin

et par suite, en observant que sini et sin H ont même limite -

.. MH MA ,. sina MI MB sme

Le Problème est donc ramené à trouver la limite dé . ; et il suffira pour cela de faire usage des deux triangles ANN', BNN', qui donneront

sina NN' sin 6