CALCUL DES TANGENTES D'APRÈS LES ÉQUATIONS

Nous avons démontre que , lorsque les points d'une courbe sont déterminés par une équation entre leurs coordonnées dans un système quelconque, la détermination de la tangente en un point quelconque de cette courbe était ramenée à celle de la limite du rapport des accroissements infiniment petits de ces coordonnées. C'est donc à ce dernier problème de calcul qu'est ramenée la recherche, soit de l'équation de la tangente, soit de l'expression de grandeurs qui détermineraient la position de cette tangente. Celte question résolue pour la première fois par Descartes, est celle qui va maintenant nous occuper.

217. Equation de la tangente à une courbe, donnée par une équation de degré quelconque en coordonnées rectilignes.

Soit V[x^j) = o l'équation de la courbe; Y[x^j) désignant un polynôme de degré quelconque en x et j, Soien x^^y' les coordonnées du point où Ton veut mener la tangente •, x'-hh, y' -i-h celles d'un second point de la courbe s la sous-sécante. On aura

II) Y[œ',x')=o,

(2) F(:r'-+-//,r'-hA-)=0,

k y' hr' et comme - = —j on pourra remplacer h par comme le

fait Descartes.

Développant ensuite le premier membre de l'équation (2), les termes indépendants de h se détruiront, puisqu'ils ne seront autre chose que ¥[x-^y')\ on pourra donc diviser par la puissance de A, qui sera commune à tous les termes. Le premier membre de l'équation (2) se composera alors d'une partie indépendante de A, et d'une suite de termes où h sera facteur à diverses puissances.

Cette équation ferait connaître s d'après A, et si l'on y fait tendre h vers zéro, s tendra vers une limite a, correspondante à la limite de la sécante, ou à la tangente. Cette limite de s se nomme la sous-tangente. Elle détermine la tangente, puisqu'elle donne le point où elle coupe

l'axe des x. Mais il vaut mieux prendre le rapport — qui

est la limite de t 6t donne le coefficient d'inclinaison de la

tangente, dont l'équation est alors

Il ne reste qu'à effectuer les calculs. que nous venons d'indiquer d'après Descartes. Nous développerons le premier membre de l'équation (2) par deux opérations successives. Dans la première nous formerons le développement de F(j:'-t- h^y') qui s'obtiendra en donnant dans F(a:',j^') à la seule lettre x' un accroissement A 5 puis dans le résultat nous n'aurons à donner qu'à la seule lettre y' un accroissement h. De cette manière l'opération totale est décomposée en deux autres plus simples, dans chacune desquelles il n'y a à considérer qu'une seule variable 5 ce qui ramène à une question traitée précédemment.

Désignons par F' (a:) la dérivée AeY[x^j) par rapport à la lettre a:, et par Y' [y] sa dérivée par rapport k y\ Aq telle sorte que le terme général Pa;"*j^" fournii^it daas

F'(x) le seul terme mPx'"~*j^", et dans F'(j^) le seul terme wPx'"^""* . Nous pourrons développer ¥(x'-\-h^y') comme il suit

Â, B,... représentant, pour abréger, les dérivées successives par rapport à a: de F {^tj) 9 divisées par des nombres connus, et dans lesquelles on remplace x, y par x\ y' ,

Changeant maintenant j-' en j*' + A dans les deux membres, le premier terme du second membre deviendra F(x', j^' -+- A) et se développera ainsi

les coefficients A,, Bj,... représentant les dérivées de F(x,y) par rapport àj^, divisées par des nombres connus, et dans lesquelles on substituera à x ety les valeurs x'^j' qui peuvent être des nombres particuliers.

Le second terme h¥'[x') Ae la formule (3) se développera d'une manière analogue, parce que F' (a:') renfermej^' qu'on y changera en j^ H- Ar , ce qui changera ¥'[x') en

F' (a?') -hA,A -hB^^'-h

Il en sera de même des autres termes AA*, BA^,. . . de la formule (3), puisque les coefficients A, B, . . . désignent des polynômes renfermant x\ j'.

On voit donc que le développement de F (j:' H- A, j^' H- A) aura F(x', j^') pour terme indépendant de A et A 5 les termes qui ne renfermeront qu'un seul facteur A ou /r, seront

AF'(^')-+- AF'(j'),

et tous les autres renfermeront au moins deux de ces facteurs, dont le nombre le plus élevé dépend, d'une ma*

%j6 ÉTUDE DES COURBES.

nière facile à apercevoir, du degré du polynôme F (a:,j^) en X etj-.

Si maintenant nous remplaçons, comme nous Tavons dit,

k par-^^î le développement de F(x' -+- ^5 JK' + ^) pourra se mettre sous la forme suivante

i F(a;'-h//,y-hX-)

M désignant un ensemble de termes où /{ sera en facteur à divers degrés, depuis o jusqu'à une valeur dépendant du degré de F(x^ y).

Nous avons ainsi effectué le calcul primitivement indiqué •, le terme indépendant de h est, comme nous l'avions prévu, F(x\j^)^ et est nul puisque le point {x\j^) est sur la courbe.

Comme le point dont les coordonnées sont x'+h^y + k est aussi sur la courbe, on a

et Téquation (4) se réduit à

On voit, comme nous l'avions encore annoncé, que h est facteur à tous les termes, et en le supprimant on aura

(5) o irr F (2:') + ^ F'{/') -f- Uh.

Cette équation renfermant h et 5, ferait connaître la valeur de la sous-sécante s pour une valeur déterminée de h\ ce calcul serait sans intérêt et offrirait beaucoup de difficultés par la manière dont s entre dans M. Mais ce serait inu-