CHAPITRE XIII

tilepour notre objet, qui est de calculer la limite de 5, ou de

— quand h tend vers zéro.

Faisant donc tendre h vers zéro dans (5), et a désignant la limite de 5, on obtiendra, d'après le principe des limites, réquation exacte

o = F{x')H.^F'(j'), d'où

et l'équation de la tangente sera

ou

218. Le second membre de cette dernière équation renferme j^' et x' au degré le plus élevé où ils entrent dans Y[x\j')\ mais on peut l'abaisser au moyen d'une propriété des polynômes homogènes, qui sera généralisée plus tard.

Considérons, en effets tous les termes de ce second membre qui ont le degré le plus élevé, et constituent un polynôme homogène du même degré m que F (a:, y).

Un quelconque d'entre eux sera de la forme Pj^jc"*"". Ses deux dérivées, par rapport à a: et à y, seront

/iPjr"~'.t?"*""" et (/w — /ijP/^a^-"-';

multipliant la première par j^ et la seconde par Xy puis les ajoutant^ on aura les termes de j^ F' (j^) H- j:F'(a:) qui proviendront du terme Pj^'*x '"""", cette somme est m Pj^^x"*"". Tous les termes de degré m de j'F'(j') H- x'Y\x') ne seront donc autre chose que les termes de degré m de F(x',j^') multipliés par m.

ajS ÉTUDE DES COURBES.

Cette propriété, que nous venons de démontrer pour tous les polynômes homogènes par rapport à deux variables, permettra de simplifier Téquation (7), puisque tous les termes du degré m de son second membre pourront^ au moyen de Téquation de la courbe, s'exprimer au moyen de termes du degré m — i au plus.

Cette simplification sera particulièrement utile quand les coordonnées x\ y^ du point de contact, seront des inconnues qu'il s'agira de déterminer.