CHAPITRE XIII

a donc pour limite — le ou — ; donc

lim Y = — ^ » h m

et par conséquent le coefficient d'inclinaison de la tangente au point x' ^ y\ est

— <?"», ou — m m

230. Si Ton désigne par fl Fangle de la tangente avec Taxe des a*, on aura

tangô= — .

Or, la sous- tangente sur Taxe des x est généralement égale à

r; elle est donc dans ce cas escale à m.

tang ô ' °

La courbe proposée, qu'on nomme la logarithmique, jouit donc de la propriété que sa sous-tangente sur Taxe des X est constante.

L'équation de cette courbe pourrait être mise sous la

forme x = ml -: ou, en chans^eant les lettres, r = ml - .

231 . Autre exemple. — Prenons encore pour exemple la courbe dont l'équation est

a sm — • m

Le coefficient d'inclinaison de la tangente est la limite du rapport T*, A et k étant les accroissements correspondants des coordonnées, à partir du point de contact. Or, quelle que soit la valeur Ae xk laquelle on donne uii ac-

croissement h^ on aura

A: = a sin ( ! ) -^ n sin — = 2 a sin ces 1

Donc

-z=:2llCOS ( 1 7 •

h \m rnnj h

La question est donc ramenée à trouver la limite de

. h sin —

Si dans cette expression on pose = a, elle devient

I sina

im a.

et comme a tend vers zéro, a pour limite i .

. // sm

La limite de — a donc pour limite 5 et l'on aura

., k a X Iim 7- = — ces — h m m

L'équation de la tangente à la courbe au point x\ j\ sera donc

Y — y = — cos — ix — x').

mm

il existe gépféralement une tangente en tout point

d'une courbe quelconque.

232. La considération des tangentes est tellement utile dans l'élude des courbes, qu'il y a intérêt à s'assurer si Ton peut en mener une en tout point d'une courbe quelconque.