CHAPITRE II

18. Corollaires. — i° En multipliant ces deux expressions, et réduisant, on trouve

œy z=: ac -\- hdy

c'est-à-dire que le rectangle des diagonales est égal à la somme des rectangles des côtés opposés.

Les anciens connaissaient ce théorème, qu'il s démontraient par des considérations purement géométriques. Ils s'en servaient pour déterminer la corde de la somme de deux arcs, quand on connaît les cordes de chacun d'eux et le rayon du cercle. Si, par exemple, on considère les deux arcs AB, BC dont les cordes sontâ, &, la diagonale jasera la corde de la somme de ces arcs. En prenant maintenant pour seconde diagonale BD le diamètre mené par B, la relation que nous venons de trouver deviendra, en prenant le rayon pour unité.

a° En divisant x par j^ on trouve

X ad -f- bc y ab -h cd

ce qui montre que les diagonales sont entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui partent de leurs extrémités respectives.

19. Connaissant r hypoténuse (Tun triangle rec^ tangle, et la somme des deux autres côtés et de la hau^ teur, calculer ces trois quantités.

Soient a cette somme, b l'hypoténuse, x elj les deux côtés de l'angle droit et z la hauteur. Les équations entre ces quantités se forment immédiatement par les propriétés connues du triangle rectangle, et la relation imposée par

renoncé : elles sont

(i) X -{-y-^- z = a, xyzzzbzy x^ -h-jr^= b^*

La résolution de ces équations n'offre aucune difficulté, et nous ne les avons choisies que pour montrer par un exemple simple comment le calcul peut devenir plus ou moins compliqué, suivant la manière dont on le dirige.

On sait que dans toute équation du second degré, x^ H- px -1-^ = 0, la somme des racines est — p^ leur produit g, et la somme de leurs carrés p' — ay.

Cela posé, la somme et le produit de x et y étant donnés en fonction de z par les deux premières équations, ces inconnues seront les racines de Féquation

a' — (a — z)u -{-• bzz= o.

La somme de leurs carrés sera donc

(a — z)' — nbz,

et la troisième équation donnera

(a — zy — nbz^rzb* ou

(2) »2— . 2(a -h 6)z-4-fl«— . A'zzrO,

d'où

z = a -{- bdo ^2ab -j- 1 6'.

De ces deux valeurs données par Téquation du second degré, une seule peut convenir à la question : car celle qui correspond au signe + du radical, étant plus grande que a + 2), ne peut être égale à la hauteur du triangle. La valeur unique de cette ligne est donc

z = a -h A — ^nab -4- 2 6».

Reportant cette expression dans Téquation en u , elle