CHAPITRE XIII. 3oi

244. Considérons maintenant la courbe qu^on appelle le/olium de Descartes ^ et dont Tëquation est

/' + jc^ — 3 axjr = o ;

il n'y a pas d'asymptotes parallèles aux axes, puisqu'on ne peut égaler à zéro le coelTicient de la plus haute puissance de^ ou de x.

Les fonctions que nous avons désignées par

F(p), v'ip), f(p)

sont dans le cas actuel x

p^ 4- I, 3/>', — Zap.

La valeur de k est la racine réelle unique de l'équation

laquelle est — i . L'équation de l'asymptote unique de cette courbe sera donc

jr = — x — a.

24S. Exemple où V équation (6) ne représente pas une asymptote, — Nous avons dit qu'il ne suffisait pas que les

limites de - et de y — kx fussent réelles et finies pour que

l'équation (6) représentât une asymptote; mais qu'il fallait en outre que les valeurs de y fussent réelles quand x croît indéfiniment, c'est-à-dire qu'il y eût une branche infinie réelle. Nous allons montrer par un exemple la nécessité de s'assurer dans chaque cas qu'il en est ainsi^ Soit l'équation

X* {jr — ay — bx^ — c= o.

En appliquant la règle pour trouver les asymptotes parallèles à l'axe des x^ on posera

(^ — fl)'=:0, ou jrzzia.

Maintenant il faut s'assurer si y reste réel quand x croît indéfiniment. Or Téquation donne

et cette valeur est réelle, quelque grand que soit a: si t est positif^ mais elle est imaginaire depuis une certaine valeur de x^ si h est négatif. Dans le premier cas l'équation y = a est celle d'une asymptote ^ elle ne Test pas dans le second.

DIVERS ORDRES D'iNFINIMEfCT PETITS.

246. Dans toutes les questions où l'on considère des limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits, on peut altérer ceux-ci de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes, sans que les limites, et par conséquent les solutions, soient en erreur. Il importe donc de faire un classement régulier des infiniment petits, et de poser à cet égard quelques théorèmes généraux relatifs à des cas simples qui se présentent fréquemment.

Nous dirons d'abord que deux infiniment petits sont de même ordre, lorsque leur rapport a une limite finie. Et en ne considérant d'abord que les questions où il n'y a qu'une seule variable indépendante, et où la valeur d*un infiniment petit entraîne celle de tous les autres, le premier ordre infinitésimal comprend tous les infiniment petits du même ordre que celui que l'on a choisi pour indépendant.

Le second ordre comprend tous ceux dont le rapport à l'infiniment petit indépendant, ou à tout autre du même ordre, est un infiniment petit du premier.

Le troisième ordre comprend tous ceux dont le rapport à un infiniment petit du second est un infiniment petit du premier.