CHAPITRE XIII. 3o

Et généralement le /i*^'"* ordre comprend tous ceux dont le rapport à un infiniment petit du (n — i)'^"»* est infiniment petit du premier.

D'après cela, il est facile d'exprimer par des formules générales les infiniment petits de tous les ordres^ en fonction de celui qui a été choisi comme indépendant.

Eu effet, si l'on désigne ce dernier par a, et par k la limite du rapport d'un autre infiniment petit à celui-là, a{k + (ù) exprimera la valeur du second, w étant infiniment petit. Ainsi l'expression générale des infiniment petits du second ordre sera

Maintenant tout infiniment petit du second ordre ayant un rapport du premier ordre avec tout infiniment petit dii premier, par exemple avec a, sera le produit de a par .a(A + &)), k étant un nombre fini quelconque, et a infiniment petit. La formule de tous les infiniment petits du second ordre sera donc

En continuant ainsi on arrivera pour tous les infiniment petits de Tordre n à l'expression générale

Les divers ordres d'infiniment petits sont donc proportionnels aux puissances de l' infiniment petit indépendant. Entre deux ordres entiers consécutifs il y a une infinité d'ordres fractionnaires, correspondants aux exposants intermédiaires entre lés deux entiers consécutifs 5 mais ils se rencontrent moins souvent.

Nous allons donner quelques exemples géométriques simples d'infiniment petits de divers ordres, et quelques propositions qui sont d'une application fréquente.

3o4 ÉTUDE DES COURBES.

TRIANGLES INFINIMEKT PETITS.

247. 1° Supposons un triangle ABC dont les trois angles tendent vers les limites a, 6, y et les trois côtés a^ b, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles a, 6, y.

Ainsi, par exemple, on a les équations exactes

a sin A ^ ^ sin a 6 sm£ o smb

Mais il n'y a aucun inconvénient à écrire

rz sin a , sin a

T=-T— s- ou azzzb-r-T-^

b sin b sin b

si a est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on

cherche la limite: car t ayant pour limite-: — - en diffère

^ ^ •' ^ sin b

d'une quantité infiniment petite m et l'on a

a sîn a b sin a

w ou « = — ; — - — h ^w.

b sin 6 sin 6

... 1' 1 1 .6 sin a ^

Ainsi en prenant, au lieu de a, la partie » on né-

glige une quantité infiniment petite par rapport à a, ce qui, dans la question supposée, ne donnera aucune erreur dans les résultats.

Or il y a souvent beaucoup d'avantage à substituer ainsi les angles limites aux angles variables, comme nous le verrons par quelques exemples.

2° Dans un triangle ABC dont l'angle A tend vers un

angle droit et les côtés vers zéro, on peut calculer le côté a

par la formule

au lieu de la formule exacte

a^ ^=1 b^ -^ c^ — 7.bc ces A.